Categoría triangulada
En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un "funtor de traducción" y una clase de "triángulos exactos". Ejemplos destacados son la categoría derivada de una categoría abeliana , así como la categoría de homotopía estable . Los triángulos exactos generalizan las secuencias exactas cortas en una categoría abeliana, así como las secuencias de fibras y las secuencias de cofibras en topología.
Gran parte del álgebra homológica se aclara y amplía mediante el lenguaje de las categorías trianguladas, siendo un ejemplo importante la teoría de la cohomología de la gavilla . En la década de 1960, un uso típico de las categorías trianguladas era extender las propiedades de las poleas en un espacio X a complejos de poleas, vistos como objetos de la categoría derivada de poleas en X. Más recientemente, las categorías trianguladas se han convertido en objetos de interés por derecho propio. Se han probado o conjeturado muchas equivalencias entre categorías trianguladas de diferentes orígenes. Por ejemplo, la conjetura de simetría del espejo homológico predice que la categoría derivada de una variedad de Calabi-Yau es equivalente a laFukaya categoría de su variedad simpléctica "espejo" .
Las categorías trianguladas fueron introducidas de forma independiente por Dieter Puppe (1962) y Jean-Louis Verdier (1963), aunque los axiomas de Puppe eran menos completos (carecían del axioma octaédrico (TR 4)). [1] Puppe estaba motivado por la categoría de homotopía estable. El ejemplo clave de Verdier fue la categoría derivada de una categoría abeliana, que también definió, desarrollando ideas de Alexander Grothendieck . Las primeras aplicaciones de las categorías derivadas incluyeron la dualidad coherente y la dualidad de Verdier , que extiende la dualidad de Poincaré a espacios singulares.
Un funtor de desplazamiento o traducción en una categoría D es un automorfismo aditivo (o para algunos autores, una autoequivalencia ) de D a D. Es común escribir para números enteros n .
![{\ estilo de visualización X [n] = \ Sigma ^ {n} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08610d4aeee037672d8990b22933f4f76275179e)
Un triángulo ( X , Y , Z , u , v , w ) consta de tres objetos X , Y y Z , junto con los morfismos y . Los triángulos generalmente se escriben en la forma desenredada:
![{\ estilo de visualización w \ dos puntos Z \ a X [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0e1f46d0d9e4dda8d4d848dd1fa2cfab99a99e)
Una categoría triangulada es una categoría aditiva D con un funtor de traslación y una clase de triángulos, llamados triángulos exactos [2] (o triángulos distinguidos ), que satisfacen las siguientes propiedades (TR 1), (TR 2), (TR 3) y ( TR 4). (Estos axiomas no son del todo independientes, ya que (TR 3) puede derivarse de los demás. [3] )