En topología simpléctica , una categoría Fukaya de una variedad simpléctica es una categoria cuyos objetos son subvariedades lagrangianas de, y los morfismos son grupos de cadenas de Floer :. Su estructura más fina se puede describir en el lenguaje de categorías cuasi como una ∞ -Categoría .
Llevan el nombre de Kenji Fukaya, quien introdujo ellenguaje primero en el contexto de la homología Morse , [1] y existen en una serie de variantes. Como categorías Fukaya son A ∞ categoras , se han asociado categorías derivadas , que son el sujeto de la célebre homológica espejo simetría conjetura de Maxim Kontsevich . [2] Esta conjetura ha sido verificada computacionalmente para varios ejemplos comparativamente simples.
Definicion formal
Dejar ser una variedad simpléctica. Para cada par de subvariedades lagrangianas , supongamos que se cruzan transversalmente, luego definen el complejo cocadena de Floer que es un módulo generado por puntos de intersección . El complejo de cocadena de Floer se ve como el conjunto de morfismos de a . La categoría Fukaya es una categoría, lo que significa que además de las composiciones ordinarias, hay mapas de composición superior
Se define de la siguiente manera. Elija una estructura casi compleja compatible en la variedad simpléctica . Para generadores de los complejos cochain a la izquierda, y cualquier generador del complejo cochain a la derecha, el espacio de módulos de -polígonos holomórficos con caras con cada cara mapeada en tiene una cuenta
en el anillo de coeficientes. Entonces define
y extender de forma multilineal.
La secuencia de composiciones superiores satisfacer el relación porque los límites de varios espacios de módulos de polígonos holomorfos corresponden a configuraciones de polígonos degenerados.
Ver también
Referencias
Bibliografía
- Denis Auroux , Introducción a las categorías de Fukaya para principiantes.
- Paul Seidel , categorías de Fukaya y teoría de Picard-Lefschetz. Conferencias de Zurich en Matemáticas Avanzadas
- Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de Floer de intersección lagrangiana: anomalía y obstrucción. Parte I , Estudios AMS / IP en Matemáticas Avanzadas, 46 , American Mathematical Society , Providence, RI; Prensa internacional, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4836-4, MR 2553465
- Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de Floer de intersección lagrangiana: anomalía y obstrucción. Parte II , Estudios AMS / IP en Matemáticas Avanzadas, 46 , American Mathematical Society , Providence, RI; Prensa internacional, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4837-1, MR 2548482
enlaces externos
- El hilo de MathOverflow '¿Está "definida" la categoría Fukaya?'