En matemáticas , un semigrupo trivial (un semigrupo con un elemento ) es un semigrupo para el que la cardinalidad del conjunto subyacente es uno . El número de semigrupos no isomórficos distintos con un elemento es uno. Si S = { a } es un semigrupo con un elemento, entonces la tabla de Cayley de S es
a a a
El único elemento en S es el elemento cero 0 de S y es también el elemento de identidad 1 de S . [1] Sin embargo, no todos los teóricos del semigrupo consideran el elemento único en un semigrupo con un elemento como el elemento cero del semigrupo. Definen elementos cero solo en semigrupos que tienen al menos dos elementos. [2] [3]
A pesar de su extrema trivialidad, el semigrupo con un elemento es importante en muchas situaciones. Es el punto de partida para comprender la estructura de los semigrupos. Sirve como contraejemplo para iluminar muchas situaciones. Por ejemplo, el semigrupo con un elemento es el único semigrupo en el que 0 = 1, es decir, el elemento cero y el elemento identidad son iguales. Además, si S es un semigrupo con un solo elemento, el semigrupo obtenido por contigua un elemento de identidad a S es isomorfo al semigrupo obtenido por contigua un elemento cero a S .
El semigrupo con un elemento también es un grupo .
En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier semigrupo con un elemento es un objeto terminal en la categoría de semigrupos.
Ver también
Referencias
- ^ AH Clifford, GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos . I (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ PA Grillet (1995). Semigrupos . Prensa CRC . págs. 3–4. ISBN 978-0-8247-9662-4.
- ^ JM Howie (1976). Introducción a la teoría de los semigrupos . Monografías de LMS. 7 . Prensa académica. págs. 2-3.