La multilateración de rango real es un método para determinar la ubicación de un vehículo móvil o un punto estacionario en el espacio utilizando múltiples rangos (distancias) entre el vehículo / punto y múltiples ubicaciones conocidas separadas espacialmente (a menudo denominadas 'estaciones'). El nombre se deriva de la trilateración , el problema geométrico de determinar una posición desconocida en un plano en función de la distancia a otros dos vértices conocidos de un triángulo (la longitud de dos lados ). La multilateración de rango real es tanto un tema matemático como una técnica aplicada que se utiliza en varios campos. Una aplicación práctica que implica una ubicación fija es el método topográfico de trilateración.. Las aplicaciones que involucran la ubicación del vehículo se denominan navegación cuando las personas / equipos a bordo son informados de su ubicación, y se denominan vigilancia cuando se informa a las entidades fuera del vehículo de la ubicación del vehículo.
Se pueden usar dos rangos de inclinación de dos ubicaciones conocidas para ubicar un tercer punto en un espacio cartesiano bidimensional (plano), que es una técnica que se aplica con frecuencia (por ejemplo, en topografía). De manera similar, se pueden usar dos rangos esféricos para ubicar un punto en una esfera, que es un concepto fundamental de la antigua disciplina de la navegación celeste , denominado problema de intercepción de altitud . Además, si hay más rangos disponibles que el número mínimo, es una buena práctica utilizarlos también. Este artículo aborda el problema general de la determinación de la posición utilizando múltiples rangos.
En geometría bidimensional , se sabe que si un punto se encuentra en dos círculos, entonces los centros del círculo y los dos radios proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a dos, una de las cuales es la solución deseada y la otra es una solución ambigua. La información adicional a menudo reduce las posibilidades a una ubicación única. En geometría tridimensional, cuando se sabe que un punto se encuentra en las superficies de tres esferas, entonces los centros de las tres esferas junto con sus radios también proporcionan información suficiente para reducir las posibles ubicaciones a no más de dos (a menos que el centros se encuentran en línea recta).
Verdadero multilateración gama se puede contrastar con el encontrado con mayor frecuencia ( pseudodistancia ) multilateración , que emplea las diferencias de rango para localizar un punto (típicamente, móvil). La multilateración de pseudo rango casi siempre se implementa midiendo los tiempos de llegada (TOA) de las ondas de energía. La multilateración de rango real también se puede contrastar con la triangulación , que implica la medición de ángulos .
Para conceptos similares se emplean términos múltiples, a veces superpuestos y contradictorios; por ejemplo, se ha utilizado la multilateración sin modificaciones para sistemas de aviación que emplean tanto distancias reales como pseudo distancias. [1] [2] Además, diferentes campos de actividad pueden emplear diferentes términos. En geometría , la trilateración se define como el proceso de determinar ubicaciones absolutas o relativas de puntos mediante la medición de distancias, utilizando la geometría de círculos , esferas o triángulos . En topografía, la trilateración es una técnica específica. [3] [4] [5] El término multilateración de rango verdadero es preciso, general e inequívoco. Los autores también han utilizado los términos rango-rango y multilateración rho-rho para este concepto.
Problemas de implementación
Los sistemas de navegación y vigilancia generalmente involucran vehículos y requieren que una entidad gubernamental u otra organización despliegue múltiples estaciones que emplean una forma de tecnología de radio (es decir, utilizan ondas electromagnéticas). Las ventajas y desventajas de emplear la multilateración de rango real para tal sistema se muestran en la siguiente tabla.
Ventajas | Desventajas |
---|---|
Las ubicaciones de las estaciones son flexibles; se pueden colocar central o periféricamente | A menudo, se requiere que un usuario tenga un transmisor y un receptor |
La precisión se degrada lentamente con la distancia desde el grupo de estaciones | La precisión del sistema cooperativo es sensible al error de rotación del equipo |
Requiere una estación menos que un sistema de multilateración de pseudo rango | No se puede utilizar para vigilancia sigilosa |
La sincronización de la estación no es exigente (se basa en la velocidad del punto de interés y puede abordarse a estima ) | La vigilancia no cooperativa implica pérdidas de trayectoria a la cuarta potencia de distancia |
La multilateración de rango real a menudo se contrasta con la multilateración (pseudo rango), ya que ambas requieren una forma de rangos de usuario para múltiples estaciones. La complejidad y el costo del equipamiento del usuario es probablemente el factor más importante para limitar el uso de la multilateración de rango real para la navegación y vigilancia de vehículos. Algunos usos no son el propósito original para la implementación del sistema, por ejemplo, navegación de aeronaves DME / DME.
Obtención de rangos
Para rangos similares y errores de medición, un sistema de navegación y vigilancia basado en la multilateración de rango real proporciona servicio a un área 2-D o volumen 3-D significativamente más grande que los sistemas basados en multilateración de pseudo rango . Sin embargo, a menudo es más difícil o costoso medir rangos verdaderos que medir pseudo rangos. Para distancias de hasta unas pocas millas y ubicaciones fijas, el alcance real se puede medir manualmente. Esto se ha hecho en topografía durante varios miles de años, por ejemplo, utilizando cuerdas y cadenas.
Para distancias más largas y / o vehículos en movimiento, generalmente se necesita un sistema de radio / radar. Esta tecnología se desarrolló por primera vez alrededor de 1940 junto con el radar. Desde entonces, se han empleado tres métodos:
- Medición de alcance bidireccional, una parte activa: este es el método utilizado por los radares tradicionales (a veces denominados radares primarios ) para determinar el alcance de un objetivo no cooperativo, y ahora lo utilizan los telémetros láser . Sus principales limitaciones son que: (a) el objetivo no se identifica a sí mismo y, en una situación de objetivos múltiples, puede producirse una asignación errónea de una devolución; (b) la señal de retorno es atenuada (en relación con la señal transmitida) por la cuarta potencia del rango vehículo-estación (por lo tanto, para distancias de decenas de millas o más, las estaciones generalmente requieren transmisores de alta potencia y / o grandes / sensibles antenas); y (c) muchos sistemas utilizan propagación en línea de visión, lo que limita su alcance a menos de 20 millas cuando ambas partes se encuentran a alturas similares sobre el nivel del mar.
- Medición de alcance bidireccional, ambas partes activas: este método fue utilizado por primera vez para la navegación por el sistema de guía de aeronaves Y-Gerät desplegado en 1941 por la Luftwaffe. Ahora se utiliza a nivel mundial en el control del tráfico aéreo, por ejemplo, vigilancia de radar secundario y navegación DME / DME. Requiere que ambas partes tengan transmisores y receptores, y puede requerir que se aborden los problemas de interferencia.
- Medición de alcance unidireccional: el tiempo de vuelo (TOF) de la energía electromagnética entre varias estaciones y el vehículo se mide en función de la transmisión de una parte y la recepción de la otra. Este es el método desarrollado más recientemente y fue posible gracias al desarrollo de los relojes atómicos; requiere que el vehículo (usuario) y las estaciones tengan relojes sincronizados. Se ha demostrado con éxito con Loran-C y GPS. [6] [7] Sin embargo, no se considera viable para un uso amplio debido al equipamiento de usuario requerido (típicamente, un reloj atómico).
Métodos de solución
Los algoritmos de multilateración de rango real pueden dividirse en función de (a) la dimensión del espacio del problema (generalmente, dos o tres), (b) la geometría del espacio del problema (generalmente, cartesiana o esférica) y (c) la presencia de mediciones redundantes (más que el espacio dimensión).
Dos dimensiones cartesianas, dos rangos de inclinación medidos (trilateración)
Es probable que se conozca una solución analítica desde hace más de 1.000 años y se incluye en varios textos. [8] Además, se pueden adaptar fácilmente algoritmos para un espacio cartesiano tridimensional.
El algoritmo más simple emplea geometría analítica y un marco de coordenadas basado en estación. Por lo tanto, considere los centros del círculo (o estaciones) C1 y C2 en la Fig.1 que tienen coordenadas conocidas (por ejemplo, ya han sido levantadas) y, por lo tanto, cuya separaciónes conocida. La figura 'página' contiene C1 y C2 . Si un tercer 'punto de interés' P (por ejemplo, un vehículo u otro punto a inspeccionar) se encuentra en un punto desconocido, entonces el teorema de Pitágoras produce
Por lo tanto,
( 1 )
Si bien hay muchas mejoras, la Ecuación 1 es la relación de multilateración de rango verdadero más fundamental. La navegación DME / DME de aeronaves y el método topográfico de trilateración son ejemplos de su aplicación. Durante la Segunda Guerra Mundial Oboe y durante la Guerra de Corea, SHORAN usó el mismo principio para guiar aviones en función de los rangos medidos a dos estaciones terrestres. SHORAN se utilizó más tarde para la exploración de petróleo en alta mar y para levantamientos aéreos. El sistema de reconocimiento aéreo Aerodist australiano utilizó multilateración de rango real cartesiano 2-D. [9] Este escenario 2-D es lo suficientemente importante como para que el término trilateración se aplique a menudo a todas las aplicaciones que involucran una línea de base conocida y dos mediciones de rango.
La línea de base que contiene los centros de los círculos es una línea de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares e igualmente distantes de (en lados opuestos de) la línea de base. Por lo general, la solución ambigua se identifica fácilmente. Por ejemplo, si P es un vehículo, cualquier movimiento hacia o desde la línea de base será opuesto al de la solución ambigua; por lo tanto, una medición burda del rumbo del vehículo es suficiente. Un segundo ejemplo: los topógrafos saben muy bien de qué lado de la línea de base se encuentra P. Un tercer ejemplo: en aplicaciones donde P es un avión y C1 y C2 están en tierra, la solución ambigua suele ser bajo tierra.
Si es necesario, los ángulos interiores del triángulo C1-C2-P se pueden encontrar usando la ley trigonométrica de los cosenos . Además, si es necesario, las coordenadas de P se pueden expresar en un segundo sistema de coordenadas más conocido, por ejemplo, el sistema Universal Transverse Mercator (UTM), siempre que las coordenadas de C1 y C2 se conozcan en ese segundo sistema. Ambos se realizan a menudo en topografía cuando se emplea el método de trilateración. [10] Una vez que se establecen las coordenadas de P , las líneas C1-P y C2-P se pueden utilizar como nuevas líneas de base y se pueden estudiar puntos adicionales. Por lo tanto, se pueden medir grandes áreas o distancias basándose en múltiples triángulos más pequeños, lo que se denomina poligonal .
Una suposición implícita para que la ecuación anterior sea cierta es que y se refieren a la misma posición de P . Cuando P es un vehículo, normalmente y debe medirse dentro de una tolerancia de sincronización que depende de la velocidad del vehículo y del error de posición permitido del vehículo. Alternativamente, se puede tener en cuenta el movimiento del vehículo entre las mediciones de distancia, a menudo por estima.
También es posible una solución trigonométrica (caso de lado a lado). Además, es posible una solución que emplee gráficos. A veces se emplea una solución gráfica durante la navegación en tiempo real, como una superposición en un mapa.
Tres dimensiones cartesianas, tres rangos de inclinación medidos
Existen múltiples algoritmos que resuelven el problema de multilateración de rango verdadero cartesiano en 3D directamente (es decir, en forma cerrada), por ejemplo, Fang. [11] Además, se pueden adoptar algoritmos de forma cerrada desarrollados para multilateración de pseudo rango . [12] [8] El algoritmo de Bancroft [13] (adaptado) emplea vectores, lo cual es una ventaja en algunas situaciones.
El algoritmo más simple corresponde a los centros de esfera en la Fig. 2. La figura 'página' es el plano que contiene C1 , C2 y C3 . Si P es un 'punto de interés' (por ejemplo, un vehículo) en, entonces el teorema de Pitágoras produce los rangos de inclinación entre P y los centros de las esferas:
Por lo tanto, dejando , las coordenadas de P son:
( 2 )
El plano que contiene los centros de las esferas es un plano de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares a él e igualmente distantes de él, en lados opuestos.
Muchas aplicaciones de la multilateración de rango real en 3D implican rangos cortos, por ejemplo, fabricación de precisión. [14] La integración de la medición de alcance de tres o más radares (por ejemplo, ERAM de la FAA ) es una aplicación de vigilancia de aeronaves en 3-D. La multilateración de rango real 3-D se ha utilizado de forma experimental con satélites GPS para la navegación aérea. [7] El requisito de que una aeronave esté equipada con un reloj atómico excluye su uso general. Sin embargo, la ayuda del reloj del receptor GPS es un área de investigación activa, incluida la ayuda a través de una red. Por tanto, las conclusiones pueden cambiar. [15] La Organización de Aviación Civil Internacional evaluó la multilateración de rango real en 3D como un sistema de aterrizaje de aeronaves, pero se encontró que otra técnica era más eficiente. [16] Medir con precisión la altitud de la aeronave durante la aproximación y el aterrizaje requiere muchas estaciones terrestres a lo largo de la trayectoria de vuelo.
Dos dimensiones esféricas, dos o más rangos esféricos medidos
Este es un problema clásico de navegación celeste (o astronómica), denominado problema de intercepción de altitud (Fig. 3). Es la geometría esférica equivalente al método topográfico de trilateración (aunque las distancias involucradas son generalmente mucho mayores). Una solución en el mar (que no involucra necesariamente al sol y la luna) fue posible gracias al cronómetro marino (introducido en 1761) y el descubrimiento de la 'línea de posición' (LOP) en 1837. El método de solución ahora más enseñado en las universidades ( ej., Academia Naval de los Estados Unidos) emplea trigonometría esférica para resolver un triángulo esférico oblicuo basado en medidas sextantes de la "altitud" de dos cuerpos celestes. [17] [18] Este problema también se puede abordar mediante el análisis de vectores. [19] Históricamente, se emplearon técnicas gráficas, por ejemplo, el método de intercepción . Estos pueden acomodar más de dos "altitudes" medidas. Debido a la dificultad de realizar mediciones en el mar, a menudo se recomiendan de 3 a 5 'altitudes'.
Como la Tierra se modela mejor como un elipsoide de revolución que como una esfera, se pueden utilizar técnicas iterativas en implementaciones modernas. [20] En aviones y misiles de gran altitud, un subsistema de navegación celeste a menudo se integra con un subsistema de navegación inercial para realizar la navegación automatizada, por ejemplo, US Air Force SR-71 Blackbird y B-2 Spirit .
Aunque está pensado como un sistema de multilateración de pseudo rango "esférico", Loran-C también ha sido utilizado como un sistema de multilateración de rango verdadero "esférico" por usuarios bien equipados (por ejemplo, Servicio Hidrográfico Canadiense). [6] Esto permitió ampliar significativamente el área de cobertura de una tríada de estaciones Loran-C (p. Ej., Duplicar o triplicar) y reducir el número mínimo de transmisores disponibles de tres a dos. En la aviación moderna, se miden con mayor frecuencia rangos oblicuos en lugar de rangos esféricos; sin embargo, cuando se conoce la altitud de la aeronave, los rangos oblicuos se convierten fácilmente en rangos esféricos. [8]
Medidas de rango redundantes
Cuando hay más mediciones de rango disponibles que dimensiones problemáticas, ya sea de las mismas estaciones C1 y C2 (o C1 , C2 y C3 ), o de estaciones adicionales, al menos estos beneficios se acumulan:
- Las mediciones 'malas' se pueden identificar y rechazar
- Las soluciones ambiguas se pueden identificar automáticamente (es decir, sin participación humana); requiere una estación adicional
- Los errores en las mediciones "buenas" se pueden promediar, reduciendo su efecto.
El algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS) generalmente se prefiere cuando hay más mediciones "buenas" que las mínimas necesarias. Una ventaja importante del método Gauss-Newton sobre muchos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de rango de forma lineal, que a menudo es su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de rango al promediar. [12] El método Gauss-Newton también se puede utilizar con el número mínimo de rangos medidos. Dado que es iterativo, el método de Gauss-Newton requiere una estimación de solución inicial.
En el espacio cartesiano 3-D, una cuarta esfera elimina la solución ambigua que ocurre con tres rangos, siempre que su centro no sea coplanar con los tres primeros. En el espacio cartesiano o esférico 2-D, un tercer círculo elimina la solución ambigua que ocurre con dos rangos, siempre que su centro no sea colineal con los dos primeros.
Aplicación única versus aplicación repetitiva
Este artículo describe en gran medida la aplicación "única" de la técnica de multilateración de rango real, que es el uso más básico de la técnica. Con referencia a la figura 1, la característica de las situaciones "únicas" es que el punto P y al menos uno de C1 y C2 cambian de una aplicación de la técnica de multilateración de rango real a la siguiente. Esto es apropiado para topografía, navegación celeste usando avistamientos manuales y algunas aeronaves de navegación DME / DME.
Sin embargo, en otras situaciones, la técnica de multilateración de rango real se aplica repetitivamente (esencialmente de forma continua). En esas situaciones, C1 y C2 (y quizás Cn, n = 3,4, ... ) permanecen constantes y P es el mismo vehículo. Ejemplos de aplicaciones (e intervalos seleccionados entre mediciones) son: vigilancia de aeronaves de radar múltiple (5 y 12 segundos, dependiendo del rango de cobertura del radar), levantamientos aéreos, navegación Loran-C con un reloj de usuario de alta precisión (aproximadamente 0,1 segundos) y algunos Navegación DME / DME de aeronaves (aproximadamente 0,1 segundos). En general, las implementaciones para uso repetitivo: (a) emplean un algoritmo de "seguimiento" [21] (además del algoritmo de solución de multilateración), que permite comparar y promediar las mediciones recopiladas en diferentes momentos de alguna manera; y (b) utilizan un algoritmo de solución iterativo, ya que (b1) admiten un número variable de mediciones (incluidas las mediciones redundantes) y (b2) tienen inherentemente una estimación inicial cada vez que se invoca el algoritmo de solución.
Sistemas de multilateración híbridos
También son posibles los sistemas híbridos de multilateración, los que no son ni de rango real ni de pseudo rango. Por ejemplo, en la Fig.1, si los centros del círculo se desplazan hacia la izquierda de modo que C1 esté eny C2 está enentonces el punto de interés P está en
Esta forma de la solución depende explícitamente de la suma y diferencia de y y no requiere 'encadenamiento' desde el -solución a la -solución. Podría implementarse como un verdadero sistema de multilateración de rango midiendo y .
Sin embargo, también podría implementarse como un sistema híbrido de multilateración midiendo y utilizando equipos diferentes, por ejemplo, para la vigilancia mediante un radar multiestático con un transmisor y dos receptores (en lugar de dos radares monoestáticos ). Si bien la eliminación de un transmisor es un beneficio, existe un 'costo' compensatorio: la tolerancia de sincronización para las dos estaciones se vuelve dependiente de la velocidad de propagación (típicamente, la velocidad de la luz) en lugar de la velocidad del punto P , con el fin de medir con precisión ambas cosas.
Si bien no se implementaron operativamente, los sistemas híbridos de multilateración se han investigado para la vigilancia de aeronaves cerca de los aeropuertos y como un sistema de respaldo de navegación GPS para la aviación. [22]
Cálculos preliminares y finales
La precisión de la posición de un sistema de multilateración de rango real, por ejemplo, la precisión del coordenadas del punto P en la Fig. 1 - depende de dos factores: (1) la precisión de la medición del rango y (2) la relación geométrica de P con las estaciones C1 y C2 del sistema . Esto se puede entender en la Fig. 4. Las dos estaciones se muestran como puntos y BLU denota unidades de línea de base. (El patrón de medición es simétrico con respecto a la línea de base y la bisectriz perpendicular de la línea de base, y está truncado en la figura). Como se hace comúnmente, los errores de medición de rango individuales se toman como independientes del rango, estadísticamente independientes y distribuidos de manera idéntica. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación de usuario y los errores de medición de rango sobre el error en el cálculocoordenadas de P . Aquí, la geometría de medición es simplemente el ángulo en el que se cruzan dos círculos o, de manera equivalente, el ángulo entre las líneas P-C1 y P-C2 . Cuando el punto P- no está en un círculo, el error en su posición es aproximadamente proporcional al área delimitada por los dos círculos azules más cercanos y los dos magenta más cercanos.
Sin mediciones redundantes, un sistema de multilateración de rango real no puede ser más preciso que las mediciones de rango, pero puede ser significativamente menos preciso si la geometría de medición no se elige correctamente. En consecuencia, algunas aplicaciones imponen restricciones sobre la ubicación del punto P . Para una situación cartesiana 2-D (trilateración), estas restricciones toman una de dos formas equivalentes:
- El ángulo interior permisible en P entre las líneas P-C1 y P-C2 : El ideal es un ángulo recto, que ocurre a distancias de la línea de base de la mitad o menos de la longitud de la línea de base; Se pueden especificar las desviaciones máximas permitidas de los 90 grados ideales.
- La dilución horizontal de precisión (HDOP), que multiplica el error de rango al determinar el error de posición: para dos dimensiones, el HDOP ideal (mínimo) es la raíz cuadrada de 2 (), que ocurre cuando el ángulo entre P-C1 y P-C2 es de 90 grados; se puede especificar un valor máximo de HDOP permitido. (Aquí, HDOP iguales son simplemente el lugar geométrico de los puntos en la Fig.4 que tienen el mismo ángulo de cruce).
La planificación de un verdadero sistema de navegación o vigilancia de multilateración de alcance a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para informar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o el volumen de servicio (tres dimensiones). [23] [24] La Fig. 5 muestra DOP horizontales (HDOP) para un sistema de multilateración de rango real de dos estaciones y 2-D. HDOP es infinito a lo largo de la línea de base y sus extensiones, ya que solo se mide realmente una de las dos dimensiones. Un usuario de un sistema de este tipo debe estar aproximadamente al margen de la línea de base y dentro de una banda de rango dependiente de la aplicación. Por ejemplo, para los arreglos de navegación DME / DME por avión, el HDOP máximo permitido por la FAA de EE. UU. Es el doble del valor mínimo posible, o 2.828, [25] que limita el rango de uso máximo (que ocurre a lo largo de la bisectriz de la línea de base) a 1.866 veces la longitud de la línea de base. (El plano que contiene dos estaciones terrestres DME y una aeronave no es estrictamente horizontal, pero por lo general es casi horizontal). De manera similar, los topógrafos seleccionan el punto P en la Fig.1 para que C1-C2-P formen aproximadamente un triángulo equilátero (donde HDOP = 1.633 ).
Los errores en las encuestas de trilateración se discuten en varios documentos. [26] [27] Generalmente, se hace hincapié en los efectos de los errores de medición de rango, más que en los efectos de los errores numéricos del algoritmo.
Aplicaciones de ejemplo
- Tierra topografía utilizando el método de trilateración
- Topografía aérea
- Levantamientos de arqueología marítima [28]
- Navegación de aeronaves DME / DME RNAV [25] [29]
- Integración de varios radares (por ejemplo, FAA ERAM ) [2]
- Navegación celeste utilizando el método de intercepción de altitud
- Método de intercepción : solución gráfica al problema de intercepción de altitud
- Calibración de interferómetros láser [14]
- SHORAN , Oboe , Gee-H : sistemas de guía de aeronaves desarrollados para bombardeos 'ciegos'
- JTIDS ( Sistema de distribución de información táctica conjunta ): sistema de EE. UU./ OTAN que (entre otras capacidades) ubica a los participantes en una red utilizando rangos entre participantes
- Aeronave USAF SR-71 Blackbird : emplea navegación astro-inercial
- Aeronave USAF B-2 Spirit : emplea navegación astro-inercial
Ver también
- Problema de geometría de distancia , técnica similar aplicada a moléculas
- Navegación celeste: antigua técnica de navegación basada en cuerpos celestes.
- Equipo de medición de distancia (DME): sistema utilizado para medir la distancia entre una aeronave y una estación terrestre
- distancia euclidiana
- Método de intercepción : técnica gráfica utilizada en la navegación celeste.
- Localizador Laser
- Multilateración : aborda la multilateración de pseudo rango
- Telémetro: sistemas utilizados para medir la distancia entre dos puntos en el suelo
- Resección (orientación)
- SHORAN: desarrollado como un sistema de navegación de aeronaves militares, luego utilizado para fines civiles
- Topografía
- Telurómetro: primer telémetro electrónico de microondas
- Triangulación : método de topografía basado en la medición de ángulos
Referencias
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enlaces externos
- stackexchange.com , Implementación PHP / Python