En matemáticas, la dualidad retorcida de Poincaré es un teorema que elimina la restricción de la dualidad de Poincaré a las variedades orientadas . La existencia de una orientación global se sustituye por el transporte de información local, mediante un sistema de coeficientes locales .
Dualidad retorcida de Poincaré para la cohomología de Rham
Otra versión del teorema con coeficientes reales presenta la cohomología de Rham con valores en el paquete de orientación . Este es el paquete de línea real plana denotado, eso es trivializado por los gráficos de coordenadas de la variedad , con mapas de transición el signo del determinante jacobiano de los mapas de transición de las cartas. Como un paquete de línea plana , tiene una cohomología de De Rham, denotada por
- o .
Para M un colector compacto , la cohomología de grado superior está equipada con un llamado morfismo de trazas
- ,
eso debe interpretarse como integración en M , es decir , evaluación contra la clase fundamental .
La dualidad de Poincaré para formas diferenciales es entonces la conjunción, para M conectado, de los siguientes dos enunciados:
- El morfismo de trazas es un isomorfismo lineal.
- El producto de copa, o producto exterior de formas diferenciales
es no degenerado.
La dualidad orientada de Poincaré está contenida en esta afirmación, entendida por el hecho de que el paquete de orientación o (M) es trivial si la variedad está orientada, siendo una orientación una trivialización global, es decir , una sección paralela que no desaparece en ninguna parte.
Ver también
Referencias
- Se proporcionan algunas referencias en las respuestas a este hilo en MathOverflow .
- El libro en línea Cirugía algebraica y geométrica de Andrew Ranicki .
- Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 82 . Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3951-0 . ISBN 0-387-90613-4. Señor 0658304 .