En matemáticas , los coeficientes locales es una idea de la topología algebraica , una especie de etapa intermedia entre la teoría de la homología o la teoría de la cohomología con coeficientes en el sentido habitual, en un grupo abeliano fijo A , y la cohomología de gavilla general que, a grandes rasgos, permite coeficientes. para variar de punto a punto en un espacio topológico X . Este concepto fue introducido por Norman Steenrod en 1943. [1]
Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos / módulos abelianos / ...) en X es un fajo localmente constante (de grupos abelianos / módulos ...) en X . En otras palabras, una gavilla es un sistema local si cada punto tiene un vecindario abierto tal que es una gavilla constante .
Definiciones equivalentes
Espacios conectados a caminos
Si X está conectado a una ruta , un sistema localde los grupos abelianos tiene la misma fibra L en todos los puntos. Dar tal sistema local es lo mismo que dar un homomorfismo
y de manera similar para los sistemas locales de módulos, ... El mapa dando al sistema local se llama la representación monodromía de.
Prueba de equivalencia -
Toma el sistema local y un bucle en x . Es fácil demostrar que cualquier sistema local enes constante. Por ejemplo,es constante. Esto da un isomorfismo, es decir, entre L y él mismo. Por el contrario, dado un homomorfismo, considere la gavilla constante en la cubierta universal de X . Las secciones invariantes de transformación de mazo deda un sistema local de X . De manera similar, las secciones equivalentes de la transformada de plataforma ρ dan otro sistema local en X : para un conjunto abierto U suficientemente pequeño , se define como
dónde es la cobertura universal.
Esto muestra que (para X conectado a una ruta) un sistema local es precisamente una gavilla cuyo retroceso hacia la cubierta universal de X es una gavilla constante.
Definición más sólida en espacios no conectados
Otra definición (más fuerte, no equivalente) que generaliza 2 y funciona para X no conectado es: un funtor covariante
del grupo fundamental de a la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo . Típicamente. Lo que esto dice es que en cada punto deberíamos asignar un módulo con una representación tal que estas representaciones sean compatibles con el cambio de punto base para el grupo fundamental .
- Gavillas constantes. Por ejemplo,. Esta es una herramienta útil para calcular la cohomología desde la cohomología de la gavilla.
es isomorfo a la cohomología singular de . - . Desde, existen -muchos sistemas lineales en X , el uno dado por la representación de la monodromía
enviando Secciones horizontales de paquetes de vectores con una conexión plana. Si es un paquete de vectores con conexión plana , luego
es un sistema local. Por ejemplo, tome y el paquete trivial. Las secciones de E son n -tuplas de funciones en X , por lo quedefine una conexión plana en E , al igual que para cualquier matriz de una forma en X . Las secciones horizontales son entonces
es decir, las soluciones de la ecuación diferencial lineal . Si se extiende a una forma única en lo anterior también definirá un sistema local en , por lo que será trivial ya que . Entonces, para dar un ejemplo interesante, elija uno con un poste en 0 :
en cuyo caso para , - Un mapa de cobertura de n hojas es un sistema local con secciones localmente el conjunto . De manera similar, un haz de fibras con fibra discreta es un sistema local, porque cada camino se eleva de forma única hasta una elevación determinada de su punto de base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales con valores establecidos de la manera obvia).
- Un sistema local de k espacios-vector en X es el mismo que un k -linear representación del grupo.
- Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los módulos D que, además, son coherentes con los módulos O.
Si la conexión no es plana, el transporte paralelo de una fibra alrededor de un bucle contráctil en x puede producir un automorfismo no trivial de la fibra en el punto base x , por lo que no hay posibilidad de definir una gavilla localmente constante de esta manera.
La conexión Gauss-Manin es un ejemplo muy interesante de conexión, cuyas secciones horizontales ocurren en el estudio de la variación de las estructuras de Hodge .
Los sistemas locales tienen una leve generalización a poleas construibles. Una gavilla construible en un espacio topológico conectado a una ruta local es una gavilla tal que existe una estratificación de
dónde es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del empuje hacia adelante derivado para algún mapa continuo. Por ejemplo, si miramos los puntos complejos del morfismo
luego las fibras sobre
son la curva plana suave dada por , pero las fibras sobre están . Si tomamos el impulso derivadoluego obtenemos una gavilla construible. Encima tenemos los sistemas locales
mientras termina tenemos los sistemas locales
dónde es el género de la curva plana (que es ).
La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente al recubrimiento de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: ver Dualidad de Poincaré retorcida .