En matemáticas , una condición de frontera mixta para una ecuación diferencial parcial define un problema de valor de frontera en el que se requiere la solución de la ecuación dada para satisfacer diferentes condiciones de frontera en partes disjuntas de la frontera del dominio donde se establece la condición. Precisamente, en un problema de valor de frontera mixto, se requiere que la solución satisfaga una condición de frontera de Dirichlet o Neumann de una manera mutuamente excluyente en partes disjuntas de la frontera.
Por ejemplo, dada una solución u a una ecuación diferencial parcial en un dominio Ω con límite ∂Ω , se dice que satisface una condición de límite mixta si, que consta de ∂Ω de dos partes disjuntas, Γ
1y Γ
2, tal que ∂Ω = Γ
1 ∪ Γ
2, u verifica las siguientes ecuaciones:
- y
donde U
0y g son funciones definidas en aquellas partes de la frontera dado. [1]
La condición de frontera mixta difiere de la condición de frontera de Robin en que esta última requiere una combinación lineal , posiblemente con coeficientes de variables puntuales , de las condiciones de los valores de frontera de Dirichlet y Neumann para ser satisfechas en toda la frontera de un dominio dado.
Nota histórica
M. Wirtinger, dans une conversion privée, a attiré mon atención sobre el problema posterior: déterminer une fonction u vérifiant l'équation de Laplace dans un Certain domaine ( D ) étant donné, sur une partie ( S ) de la frontière, les valeurs périphériques de la fonction demandée et, sur le reste ( S ′ ) de la frontière du domaine considéré, celles de la dérivée suivant la normale . Je me propongo de faire connaitre une solution très générale de cet intéressant problème. [2]
- Stanisław Zaremba , ( Zaremba 1910 , §1, p. 313).
Stanisław Zaremba resolvió el primer problema de valor de frontera que satisfacía una condición de frontera mixta para la ecuación de Laplace : según él mismo, fue Wilhelm Wirtinger quien sugirió que estudiara este problema. [3]
Ver también
Notas
- ^ Obviamente, no es necesario exigir u
0y g siendo funciones: pueden ser distribuciones o cualquier otro tipo de funciones generalizadas . - ^ (Traducción al inglés) "El Sr. Wirtinger, durante una conversación privada, me ha llamado la atención sobre el siguiente problema: determinar una función u que satisfaga la ecuación de Laplace en un cierto dominio ( D ) dado, en una parte ( S ) de su límite, los valores periféricos de la función buscada y, en la parte restante ( S ′ ) del dominio considerado, los de su derivada a lo largo de la normal . Mi objetivo es dar a conocer una solución muy general de este interesante problema ".
- ^ Ver ( Zaremba 1910 , §1, p. 313).
Referencias
- Fichera, Gaetano (1949), "Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti" , Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (en italiano) , 1 (1947) (1–4): 75–100, MR 0035370 , Zbl 0035.18603. En el artículo " Análisis existencial de las soluciones de problemas de valores de frontera mixtos, relacionados con ecuaciones elípticas de segundo orden y sistemas de ecuaciones, selfadjoint " (traducción al inglés del título), Gaetano Fichera da las primeras pruebas de existencia y teoremas de unicidad para problema de contorno que implica una segunda orden generales autoadjuntos operadores elípticas en bastante generales dominios .
- Guru, Bhag S .; Hızıroğlu, Hüseyin R. (2004), Fundamentos de la teoría del campo electromagnético (2ª ed.), Cambridge, Reino Unido - Nueva York: Cambridge University Press , p. 593, ISBN 0-521-83016-8.
- Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - Neue Folge (en italiano), Heft 2 (1a ed.), Berlín - Göttingen - Nueva York: Springer Verlag , págs. VIII +222, Sr. 0087853 , Zbl 0065.08503.
- Miranda, Carlo (1970) [1955], Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - 2 Folge, Band 2 (2ª ed. Revisada), Berlín - Heidelberg - Nueva York: Springer Verlag , págs. XII + 370, ISBN 978-3-540-04804-6, MR 0284700 , Zbl 0.198,14101, traducido del italiano por Zane C. Motteler.
- Zaremba, S. (1910), "Sur un problème mixte relatif à l 'équation de Laplace", Bulletin international de l'Académie des Sciences de Cracovie. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Serie A: Sciences mathématiques (en francés): 313–344, JFM 41.0854.12, traducido al ruso como Zaremba, S. (1946),Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа, Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 1 (3-4 (13-14)): 125–146, MR 0025032 , Zbl 0061.23010.