En matemáticas , un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial , donde el campo de escalares se reemplaza por un anillo . El concepto de módulo es también una generalización del de grupo abeliano , ya que los grupos abelianos son exactamente los módulos sobre el anillo de números enteros .
Como un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre la operación de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación del anillo.
Los módulos están muy relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y el álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en geometría algebraica y topología algebraica .
En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un campo y actúa sobre los vectores por multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cociente son módulos, por lo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cociente pueden combinarse en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales de izquierda, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de la teoría del anillo se pueden expresar sobre ideales de izquierda o módulos de izquierda.
Gran parte de la teoría de los módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al reino de los módulos sobre un anillo de " buen comportamiento ", como un dominio ideal principal . Sin embargo, los módulos pueden ser un poco más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso aquellos que la tienen, los módulos libres , no necesitan tener un rango único si el anillo subyacente no satisface la condición de número base invariante , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen un (posiblemente infinito) base cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elecciónen general, pero no en el caso de espacios de dimensión finita, o cierto buen comportamiento espacios de dimensión infinita tales como L p espacios .)
Suponga que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un módulo R izquierdo M consiste en un grupo abeliano ( M , +) y una operación ⋅: R × M → M tal que para todo r , s en R y x , y en M , tenemos