En matemáticas, particularmente en análisis funcional y análisis convexo , el teorema de Ursescu es un teorema que generaliza el teorema del grafo cerrado , el teorema de mapeo abierto y el principio de acotación uniforme .
Teorema de Ursescu
Se utilizan la siguiente notación y nociones, donde es una función multivalor y S es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial topológico X :
- el intervalo afín de S se denota pory el tramo lineal se denota por.
- denota el interior algebraica de S en X .
- denota el interior algebraico relativo de S (es decir, el interior algebraico de S en).
- Si es cañón para algunos / todos tiempo de lo contrario.
- Si S es convexo, se puede demostrar que para cualquier x en X , si y solo si el cono generado por es un subespacio lineal de barril de X o de manera equivalente, si y solo sies un subespacio lineal con cañón de X
- El dominio de es .
- La imagen de es . Para cualquier subconjunto, .
- La gráfica de es .
- es cerrado (respectivamente, convexo ) si la gráfica de está cerrado (resp. convexo) en .
- Tenga en cuenta que es convexo si y solo si para todos y todo , .
- El inverso de es la multifuncion definido por . Para cualquier subconjunto, .
- Tenga en cuenta que si es una función, entonces su inverso es la multifunción obtenido al identificar canónicamente f con la multifunción f: XY definido por.
- es el interior topológico de S con respecto a T , donde.
- es el interior de S con respecto a.
Declaración
Teorema [1] ( Ursescu ) - Let X haber una completa semi-metrizable localmente convexa topológica vector de espacio yser una multifunción convexa cerrada con dominio no vacío. Asumir quees cañón para algunos / todos. Asumir que y deja (así que eso ). Luego, para cada barrio U deen X , pertenece al relativo interior de en (es decir ). En particular, si luego .
Corolarios
Teorema del gráfico cerrado
( Closed teorema gráfico ) Let X y Y sean espacios de Fréchet y T: X → Y sea un mapa lineal. Entonces T es continua si y solo si la gráfica de T está cerrada en.
Prueba: Para la dirección no trivial, suponga que la gráfica de T es cerrada y sea. Es fácil ver esoes cerrado y convexo y que su imagen es X . Dado x en X , (T x, x) pertenece ade modo que para cada vecindario abierto V de T x en Y ,es una vecindad de x en X . Por tanto, T es continua en x . QED
Principio de delimitación uniforme
( Principio acotación uniforme ) Let X y Y sean espacios de Fréchet yser un mapa lineal biyectivo. Entonces T es continuo si y solo sies continuo. Además, si T es continuo, entonces T es un isomorfismo de los espacios de Fréchet .
Demostración: aplique el teorema del gráfico cerrado a T y. QED
Teorema de mapeo abierto
( Teorema de la aplicación abierta ) Let X y Y sean espacios de Fréchet yser un mapa lineal sobreyectivo continuo. Entonces T es un mapa abierto .
Prueba: Claramente, T es una relación cerrada y convexa cuya imagen es Y . Sea U un subconjunto abierto no vacío de X , sea y esté en T (U) y sea x en U tal que y = T x . Del teorema de Ursescu se deduce que T (U) es una vecindad de y . QED
Corolarios adicionales
La siguiente notación y nociones se utilizan para estos corolarios, donde es una multifunción , S es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial topológico X :
- una serie convexa con elementos de S es una serie de la forma donde todos y es una serie de números no negativos. Siconverge entonces la serie se llama convergente mientras que siestá acotada, entonces la serie se llama acotada y b-convexa .
- S está idealmente convexa si cualquier convergente b-convexa serie de elementos de S tiene su suma en S .
- S es más bajo idealmente convexo si existe un espacio de Fréchet Y tal que S es igual a la proyección sobre X de algún subconjunto B idealmente convexo de. Cada conjunto idealmente convexo es más bajo idealmente convexo.
Corolario Let X sea un cañón primero numerable espacio y dejar que C sea un subconjunto de X . Luego:
- Si C es más bajo idealmente convexo entonces.
- Si C es idealmente convexo entonces.
Teoremas relacionados
Teorema de Simons
Teorema ( Simons ) [2] Let X y Y sea primero contable con X localmente convexa. Suponer quees un multimapa con dominio no vacío que satisface la condición (Hw x ) o bien se asume que X es un espacio de Fréchet y quees más bajo idealmente convexo . Asumir quees cañón para algunos / todos. Asumir que y deja . Luego, para cada barrio U deen X , pertenece al relativo interior de en (es decir ). En particular, si luego .
Teorema de Robinson-Ursescu
La implicación (1) (2) en el siguiente teorema se conoce como teorema de Robinson-Ursescu. [3]
Teorema : Sea y Ser espacios normativos yser un multimapa con dominio no vacío. Suponga que Y es un espacio de barril , la gráfica deverifica la condición de condición (Hw x ) , y que. Dejar (resp. ) denota la bola unitaria cerrada en X (resp. Y ) (por lo que). Entonces los siguientes son equivalentes:
- pertenece al interior algebraico de.
- .
- Existe tal que para todos , .
- Allí existe y tal que para todos y todo , .
- Existe tal que para todos y todo , .
Ver también
- Teorema del gráfico cerrado
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Principio de acotación uniforme : un teorema que establece que la acotación puntual implica acotación uniforme
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados
Notas
- ^ Zalinescu 2002 , p. 23.
- ^ Zalinescu 2002 , p. 22-23.
- ^ Zalinescu 2002 , p. 24.
Referencias
- Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .
- Baggs, Ivan (1974). "Funciones con gráfico cerrado" . Actas de la American Mathematical Society . 43 (2): 439–442. doi : 10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .