En plano euclidiano geometría , el círculo van Lamoen es un especial círculo asociado con cualquier dado triángulo . Contiene los circuncentros de los seis triángulos que se definen dentropor sus tres medianas . [1] [2]
Específicamente, deje , , ser los vértices de, y deja sea su centroide (la intersección de sus tres medianas). Dejar, , y ser los puntos medios de las líneas laterales , , y , respectivamente. Resulta que los circuncentros de los seis triángulos, , , , , y yacen en un crculo comn, que es el crculo de van Lamoen de . [2]
Historia
El círculo de van Lamoen lleva el nombre del matemático Floor van Lamoen que lo planteó como un problema en 2000. [3] [4] Una prueba fue proporcionada por Kin Y. Li en 2001, [4] y los editores de Amer. Matemáticas. Mensual en 2002. [1] [5]
Propiedades
El centro del círculo de van Lamoen es el punto en Clark Kimberling que está lista completa de los centros de triángulo . [1]
En 2003, Alexey Myakishev y Peter Y. Woo demostraron que el inverso del teorema es casi cierto, en el siguiente sentido: ser cualquier punto en el interior del triángulo, y , , y ser sus cevianos , es decir, los segmentos de recta que conectan cada vértice ay se extienden hasta que cada uno se encuentra con el lado opuesto. Entonces los circuncentros de los seis triángulos, , , , , y Acuéstese en el mismo círculo si y solo si es el centroide de o su ortocentro (la intersección de sus tres altitudes ). [6] Nguyen Minh Ha dio una prueba más simple de este resultado en 2005. [7]
Ver también
Referencias
- ^ a b c Clark Kimberling (), X (1153) = Centro del círculo de van Lemoen , en la Enciclopedia de Centros Triángulos Consultado el 10 de octubre de 2014.
- ^ a b Eric W. Weisstein, círculo de van Lamoen en Mathworld . Consultado el 10 de octubre de 2014.
- ^ Floor van Lamoen (2000), Problema 10830 American Mathematical Monthly, volumen 107, página 893.
- ↑ a b Kin Y. Li (2001), Problemas concíclicos . Excalibur matemático, volumen 6, número 1, páginas 1-2.
- ^ (2002), Solución al problema 10830 . American Mathematical Monthly, volumen 109, páginas 396-397.
- ^ Alexey Myakishev y Peter Y. Woo (2003), Sobre los circuncentros de la configuración de Cevasix . Forum Geometricorum, volumen 3, páginas 57-63.
- ^ NM Ha (2005), otra prueba del teorema de van Lamoen y su inverso . Forum Geometricorum, volumen 5, páginas 127-132.