Una vibración en una cuerda es una onda . La resonancia hace que una cuerda vibrante produzca un sonido con frecuencia constante , es decir, tono constante . Si la longitud o tensión de la cuerda se ajusta correctamente, el sonido que se produce es un tono musical . Las cuerdas vibrantes son la base de instrumentos de cuerda como guitarras , violonchelos y pianos .
Onda
La velocidad de propagación de una onda en una cuerda () es proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de tensión de la cuerda () e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal () de la cadena:
Vincenzo Galilei descubrió esta relación a finales del siglo XVI. [ cita requerida ]
Derivación
Fuente: [1]
Dejar ser del largo de un trozo de cuerda,su masa , ysu densidad lineal . Si los ángulos y son pequeños, entonces los componentes horizontales de tensión en ambos lados pueden aproximarse por una constante, para la cual la fuerza horizontal neta es cero. En consecuencia, utilizando la aproximación de ángulo pequeño, las tensiones horizontales que actúan en ambos lados del segmento de cuerda están dadas por
De la segunda ley de Newton para el componente vertical, la masa (que es el producto de su densidad lineal y longitud) de esta pieza por su aceleración, , será igual a la fuerza neta sobre la pieza:
Dividiendo esta expresión por y sustituyendo la primera y la segunda ecuación se obtiene (podemos elegir la primera o la segunda ecuación para , por lo que elegimos convenientemente cada uno con el ángulo correspondiente y )
Según la aproximación de ángulo pequeño, las tangentes de los ángulos en los extremos de la cuerda son iguales a las pendientes en los extremos, con un signo menos adicional debido a la definición de y . Usar este hecho y reorganizar proporciona
En el limite que se aproxima a cero, el lado izquierdo es la definición de la segunda derivada de :
Esta es la ecuación de onda para , y el coeficiente del segundo término derivado en el tiempo es igual a ; por lo tanto
Dónde es la velocidad de propagación de la onda en la cuerda (consulte el artículo sobre la ecuación de onda para obtener más información sobre esto). Sin embargo, esta derivación solo es válida para vibraciones de pequeña amplitud; para los de gran amplitud,no es una buena aproximación para la longitud de la cuerda, el componente horizontal de tensión no es necesariamente constante. Las tensiones horizontales no están bien aproximadas por.
Frecuencia de la onda
Una vez que se conoce la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de una onda es igual a la longitud de onda dividido por el período , o multiplicado por la frecuencia :
Si la longitud de la cuerda es , el armónico fundamental es el que produce la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, por lo quees la mitad de la longitud de onda del armónico fundamental. De ahí se obtienen las leyes de Mersenne :
dónde es la tensión (en Newtons),es la densidad lineal (es decir, la masa por unidad de longitud), yes la longitud de la parte vibrante de la cuerda. Por lo tanto:
- Cuanto más corta sea la cuerda, mayor será la frecuencia de la fundamental
- cuanto mayor es la tensión, mayor es la frecuencia de la fundamental
- Cuanto más ligera es la cuerda, mayor es la frecuencia de la fundamental
Además, si tomamos el enésimo armónico con una longitud de onda dada por , entonces obtenemos fácilmente una expresión para la frecuencia del enésimo armónico:
Y para una cuerda bajo tensión T con densidad lineal , luego
Observando las vibraciones de las cuerdas
Uno puede ver las formas de onda en una cuerda vibrante si la frecuencia es lo suficientemente baja y la cuerda vibrante se sostiene frente a una pantalla CRT como una de un televisor o una computadora ( no de un osciloscopio analógico). Este efecto se llama efecto estroboscópico , y la velocidad a la que la cuerda parece vibrar es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de actualización de la pantalla. Lo mismo puede suceder con una lámpara fluorescente , a una tasa que es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de la corriente alterna . (Si la frecuencia de actualización de la pantalla es igual a la frecuencia de la cuerda o un múltiplo entero de la misma, la cuerda aparecerá inmóvil pero deformada). A la luz del día y otras fuentes de luz no oscilantes, este efecto no ocurre y la cuerda parece inmóvil pero más grueso y más claro o borroso, debido a la persistencia de la visión .
Se puede obtener un efecto similar pero más controlable utilizando un estroboscopio . Este dispositivo permite hacer coincidir la frecuencia de la lámpara de flash de xenón con la frecuencia de vibración de la cuerda. En una habitación oscura, esto muestra claramente la forma de onda. De lo contrario, se puede usar la flexión o, quizás más fácilmente, ajustando los cabezales de la máquina, para obtener la misma frecuencia de CA, o un múltiplo, para lograr el mismo efecto. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, la sexta cuerda (con el tono más bajo) presionada en el tercer traste da un G a 97,999 Hz. Un ligero ajuste puede alterarlo a 100 Hz, exactamente una octava por encima de la frecuencia de corriente alterna en Europa y la mayoría de los países de África y Asia, 50 Hz. En la mayoría de los países de América, donde la frecuencia de CA es de 60 Hz, la alteración de A # en la quinta cuerda, el primer traste de 116,54 Hz a 120 Hz produce un efecto similar.
Ejemplo del mundo real
La guitarra eléctrica Jackson Professional Soloist XL de un usuario de Wikipedia tiene una distancia entre la tuerca y el puente (correspondiente aarriba) de 25 5 ⁄ 8 pulg . y D'Addario XL Cuerdas de guitarra eléctrica EXL-120 de calibre superligero y entorchado en níquel con las siguientes especificaciones del fabricante:
Cadena no. | Espesor [pulg.] () | Tensión recomendada [lbs.] () | [g / cm 3 ] |
---|---|---|---|
1 | 0,00899 | 13,1 | 7.726 (aleación de acero) |
2 | 0.0110 | 11,0 | " |
3 | 0.0160 | 14,7 | " |
4 | 0.0241 | 15,8 | 6.533 (aleación de acero bobinado con níquel) |
5 | 0.0322 | 15,8 | " |
6 | 0.0416 | 14,8 | " |
Dadas las especificaciones anteriores, ¿cuáles serían las frecuencias vibratorias calculadas () de los armónicos fundamentales de las cuerdas anteriores sea si las cuerdas se ensartan con las tensiones recomendadas por el fabricante?
Para responder a esto, podemos comenzar con la fórmula de la sección anterior, con :
La densidad lineal se puede expresar en términos de densidad espacial (masa / volumen) a través de la relación , dónde es el radio de la cuerda y es el diámetro (también conocido como espesor) en la tabla anterior:
Para fines de cálculo, podemos sustituir la tensión arriba, a través de la segunda ley de Newton (Fuerza = masa × aceleración), la expresión, dónde es la masa que, en la superficie terrestre, tendría el peso equivalente correspondiente a los valores de tensión en la tabla anterior, en relación con la aceleración estándar debida a la gravedad en la superficie de la Tierra,cm / s 2 . (Esta sustitución es conveniente aquí, ya que las tensiones de las cuerdas proporcionadas por el fabricante anterior están en libras de fuerza , que se pueden convertir más convenientemente en masas equivalentes en kilogramos mediante el factor de conversión familiar 1 lb. = 453,59237 g). La fórmula anterior, entonces, explícitamente se convierte en:
Usando esta fórmula para calcular para cuerda no. 1 anterior rinde:
La repetición de este cálculo para las seis cadenas da como resultado las siguientes frecuencias. Junto a cada frecuencia se muestra la nota musical (en notación científica de tono ) en la afinación de guitarra estándar cuya frecuencia es la más cercana, lo que confirma que ensartar las cuerdas anteriores con las tensiones recomendadas por el fabricante da como resultado los tonos estándar de una guitarra:
Cadena no. | Frecuencia calculada [Hz] | Nota más cercana en la afinación A440 12-TET |
---|---|---|
1 | 330 | E 4 (= 440 ÷ 2 5/12 ≈ 329,628 Hz) |
2 | 247 | B 3 (= 440 ÷ 2 10/12 ≈ 246,942 Hz) |
3 | 196 | G 3 (= 440 ÷ 2 14/12 ≈ 195,998 Hz) |
4 | 147 | D 3 (= 440 ÷ 2 19/12 ≈ 146,832 Hz) |
5 | 110 | A 2 (= 440 ÷ 2 24/12 = 110 Hz) |
6 | 82,4 | E 2 (= 440 ÷ 2 29/12 ≈ 82,407 Hz) |
Ver también
- Instrumentos con trastes
- Acústica musical
- Vibraciones de un tambor circular
- El experimento de Melde
- 3er puente (resonancia armónica basada en divisiones de cuerdas iguales)
- Resonancia de cuerdas
- Cambio de fase de reflexión
Referencias
- Molteno, TCA; NB Tufillaro (septiembre de 2004). "Una investigación experimental sobre la dinámica de una cuerda". Revista estadounidense de física . 72 (9): 1157-1169. Código bibliográfico : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119 / 1.1764557 .
- Tufillaro, NB (1989). "Vibraciones de cuerdas caóticas y no lineales". Revista estadounidense de física . 57 (5): 408. Código bibliográfico : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119 / 1.16011 .
- Específico
- ^ La ecuación de onda y la velocidad de onda
enlaces externos
- " La cuerda vibrante " de Alain Goriely y Mark Robertson-Tessi, Proyecto de demostraciones de Wolfram .