Espacio puntiagudo

En matemáticas , un espacio puntiagudo es un espacio topológico con un punto distinguido, el punto base . El punto distinguido es simplemente un punto en particular, seleccionado del espacio y al que se le da un nombre, como${\displaystyle x_{0},}$ que permanece sin cambios durante la discusión posterior, y se mantiene un registro durante todas las operaciones.

Los mapas de espacios puntiagudos ( mapas basados ) son mapas continuos que conservan puntos base, es decir, un mapa${\displaystyle f}$ entre un espacio puntiagudo ${\displaystyle X}$ con punto base ${\displaystyle x_{0}}$ y un espacio puntiagudo ${\displaystyle Y}$ con punto base ${\displaystyle y_{0}}$ es un mapa basado si es continuo con respecto a las topologías de ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ y si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$ Esto generalmente se denota

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Los espacios señalados son importantes en la topología algebraica , particularmente en la teoría de la homotopía , donde muchas construcciones, como el grupo fundamental , dependen de la elección del punto base.

El concepto de conjunto puntiagudo es menos importante; de todos modos es el caso de un espacio discreto puntiagudo .

Los espacios apuntados a menudo se toman como un caso especial de la topología relativa , donde el subconjunto es un solo punto. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la homotopía generalmente se desarrolla en espacios puntiagudos y luego se traslada a topologías relativas en topología algebraica .

Categoría de espacios puntiagudos

La clase de todos los espacios puntiagudos forma una categoría Top_{${\displaystyle \bullet }$}con punto base conservando mapas continuos como morfismos . Otra forma de pensar en esta categoría es como la categoría de coma , (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ Arriba ) donde${\displaystyle \{\bullet \}}$es cualquier espacio de un punto y Top es la categoría de espacios topológicos . (Esto también se llama una categoría de cóslice denotada${\displaystyle \{\bullet \}/}$Arriba .) Los objetos de esta categoría son mapas continuos${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$ Se puede pensar que tales morfismos seleccionan un punto base en ${\displaystyle X.}$ Morfismos en ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ Top ) son morfismos en Top para los que se conmuta el siguiente diagrama :

Es fácil ver que la conmutatividad del diagrama es equivalente a la condición de que ${\displaystyle f}$ conserva los puntos base.

Como un espacio puntiagudo, ${\displaystyle \{\bullet \}}$es un objeto cero en Top_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}, mientras que es solo un objeto terminal en Top .

Hay un functor olvidadizo Top_{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ Top que "olvida" qué punto es el punto base. Este funtor tiene un adjunto izquierdo que asigna a cada espacio topológico${\displaystyle X}$la unión disjunta de${\displaystyle X}$ y un espacio de un punto ${\displaystyle \{\bullet \}}$ cuyo único elemento se toma como punto base.

Operaciones en espacios puntiagudos

• Un subespacio de un espacio puntiagudo${\displaystyle X}$es un subespacio topológico ${\displaystyle A\subseteq X}$ que comparte su punto base con ${\displaystyle X}$para que el mapa de inclusión conserve el punto base.
• Se puede formar el cociente de un espacio puntiagudo${\displaystyle X}$bajo cualquier relación de equivalencia . El punto base del cociente es la imagen del punto base en${\displaystyle X}$ bajo el mapa del cociente.
• Se puede formar el producto de dos espacios puntiagudos.${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$como producto topológico ${\displaystyle X\times Y}$ con ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$sirviendo como punto de base.
• El coproducto en la categoría de espacios puntiagudos es la suma en cuña , que se puede considerar como la 'unión de un punto' de espacios.
• El producto de rotura de dos espacios puntiagudos es esencialmente el cociente del producto directo y la suma de la cuña. Nos gustaría decir que el producto smash convierte la categoría de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con la esfera 0 puntiaguda como objeto unitario, pero esto es falso para los espacios generales: la condición de asociatividad podría fallar. Pero es cierto para algunas categorías de espacios más restringidas, como los débiles de Hausdorff generados de forma compacta .
• La suspensión reducida ${\displaystyle \Sigma X}$ de un espacio puntiagudo ${\displaystyle X}$es (hasta un homeomorfismo ) el gran producto de${\displaystyle X}$ y el círculo puntiagudo ${\displaystyle S^{1}.}$
• La suspensión reducida es un factor de la categoría de espacios apuntados a sí misma. Este functor se deja adjunto al functor${\displaystyle \Omega }$ tomando un espacio puntiagudo ${\displaystyle X}$a su espacio de bucle ${\displaystyle \Omega X}$.

Ver también

• Categoría de grupos
• Categoría de espacios métricos
• Categoría de conjuntos
• Categoría de espacios topológicos
• Categoría de espacios vectoriales  topológicos - categoría topológica

Referencias

• Gamelin, Theodore W .; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introducción a la topología (segunda ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.

• Discusión de mathoverflow en varios puntos base y agrupaciones