En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que toman una forma particularmente simple. Llevan el nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conocen como funciones p y generalmente se denotan con el símbolo ℘. Desempeñan un papel importante en la teoría de funciones elípticas. Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una retícula de período dado.
Definición
Dejar ser dos números complejos que son lineales independientes sobre y deja ser el enrejado generado por esos números. Entonces el-La función se define de la siguiente manera:
Esta serie converge localmente de manera uniforme absolutamente en. A menudo en lugar de solo está escrito.
La Weierstrass -La función está construida exactamente de tal manera que tiene un polo del orden de dos en cada punto de la red.
Porque la suma por sí solo no convergería es necesario agregar el término . [1]
Es común usar y como generadores de la celosía. Multiplicar por mapea la celosía isomórficamente sobre la celosía con . Posiblemente sustituyendo por se puede suponer que . Uno conjuntos.
Motivación
Un cúbico de la forma , dónde son números complejos con , no se puede parametrizar racionalmente. [2] Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarlo.
Para el cuadric , el círculo unitario, existe una parametrización (no racional) utilizando la función seno y su derivada la función coseno:
- .
Debido a la periodicidad del seno y el coseno se elige como dominio, por lo que la función es biyectiva.
De manera similar se puede obtener una parametrización de por medio de la doble periódica -función (ver en la sección "Relación con las curvas elípticas"). Esta parametrización tiene el dominio, que es topológicamente equivalente a un toro . [3]
Existe otra analogía con las funciones trigonométricas. Considere la función integral
- .
Se puede simplificar sustituyendo y :
- .
Eso significa . Entonces, la función seno es una función inversa de una función integral. [4]
Las funciones elípticas también son funciones inversas de funciones integrales, es decir, de integrales elípticas . En particular el-La función se obtiene de la siguiente manera:
Dejar
- .
Luego puede extenderse al plano complejo y esta extensión es igual a la -función. [5]
Propiedades
- ℘ es una función par. Eso significa para todos , que se puede ver de la siguiente manera:
La penúltima igualdad se cumple porque . Dado que la suma converge absolutamente, esta reordenación no cambia el límite.
- ℘ es meromórfico y su derivada es [6]
- .
- y son doblemente periódicas con los periodos und . [6] Esto significa:
- y .
Resulta que y para todos . Las funciones meromórficas y doblemente periódicas también se denominan funciones elípticas .
Expansión Laurent
Dejar . Entonces para la -función tiene la siguiente expansión de Laurent
dónde
- por son las llamadas series de Eisenstein . [6]
Ecuación diferencial
Colocar y . Entonces el-función satisface la ecuación diferencial [6]
- .
Esta relación se puede verificar formando una combinación lineal de potencias de y para eliminar el poste en . Esto produce una función elíptica completa que tiene que ser constante según el teorema de Liouville . [6]
Invariantes
Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior g 2 y g 3 se conocen como invariantes . Porque dependen de la celosía pueden verse como funciones en y .
La expansión de la serie sugiere que g 2 y g 3 son funciones homogéneas de grado −4 y −6. Eso es [7]
- por .
Si y son elegidos de tal manera que g 2 y g 3 se pueden interpretar como funciones en el semiplano superior .
Dejar . Uno tiene: [8]
- ,
- .
Eso significa que g 2 y g 3 solo se escalan al hacer esto. Colocar
, .
Como funciones de son las llamadas formas modulares.
La serie Fourier para y se dan de la siguiente manera: [9]
dónde es la función divisor y.
Discriminante modular
El discriminante modular Δ se define como el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación diferencial anterior:
El discriminante es una forma modular de peso 12. Es decir, bajo la acción del grupo modular , se transforma como
dónde con anuncio - bc = 1. [10]
Tenga en cuenta que dónde es la función eta de Dedekind . [11]
Para los coeficientes de Fourier de , consulte la función tau de Ramanujan .
Las constantes ae 1 , ae 2 y ae 3
, y se utilizan generalmente para denotar los valores de la -función en los medios periodos.
Se distinguen por pares y solo dependen del enrejado. y no en sus generadores. [12]
, y son las raíces del polinomio cúbico y están relacionados por la ecuación:
- .
Debido a que esas raíces son distintas, el discriminante no desaparece en el semiplano superior. [13] Ahora podemos reescribir la ecuación diferencial:
- .
Eso significa que los medios periodos son ceros de .
Los invariantes y se puede expresar en términos de estas constantes de la siguiente manera: [14]
Relación con las curvas elípticas
Considere la curva cúbica proyectiva
- .
Para este cúbico, también llamado cúbico de Weierstrass, no existe una parametrización racional, si . [2] En este caso también se llama curva elíptica. Sin embargo, existe una parametrización que utiliza el-función y su derivada : [15]
Ahora el mapa es biyectiva y parametriza la curva elíptica.
es un grupo abeliano y un espacio topológico , equipado con la topología del cociente.
Se puede demostrar que cada cúbico de Weierstrass se da de esa manera. Es decir que por cada pareja con existe una celosía , tal que
y . [dieciséis]
La afirmación de que las curvas elípticas se puede parametrizar sobre , se conoce como teorema de modularidad . Este es un teorema importante en la teoría de números . Formaba parte de la demostración de Andrew Wiles (1995) del último teorema de Fermat .
Teoremas de la suma
Dejar , así que eso . Entonces uno tiene: [17]
- .
Además de la fórmula de duplicación: [17]
- .
Estas fórmulas también tienen una interpretación geométrica, si se mira la curva elíptica junto con el mapeo como en la sección anterior.
La estructura de grupo de se traduce en la curva y se puede interpretar geométricamente allí:
La suma de tres puntos diferentes por pares es cero si y solo si se encuentran en la misma línea en . [18]
Esto es equivalente a:
- ,
dónde , y . [19]
Relación con las funciones elípticas de Jacobi
Para el trabajo numérico, a menudo es conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .
Las relaciones básicas son: [20]
dónde y son las tres raíces descritas anteriormente y donde el módulo k de las funciones de Jacobi es igual a
y su argumento w es igual a
Tipografía
La función elíptica de Weierstrass generalmente se escribe con una letra de escritura minúscula bastante especial ℘. [nota a pie de página 1]
En informática, la letra ℘ está disponible como \wp
en TeX . En Unicode, el punto de código es U + 2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (HTML ℘
· ℘, &wp
), con el alias más correcto de función elíptica weierstrass . [nota al pie 2] En HTML , se puede escapar como ℘
.
Avance | ℘ | |
---|---|---|
Nombre Unicode | FUNCIÓN ELÍPTICA SCRIPT CAPITAL P / WEIERSTRASS | |
Codificaciones | decimal | maleficio |
Unicode | 8472 | U + 2118 |
UTF-8 | 226132152 | E2 84 98 |
Referencia de caracteres numéricos | & # 8472; | & # x2118; |
Referencia de carácter con nombre | & weierp ;, & wp; |
Ver también
- Funciones de Weierstrass
Notas al pie
- ↑ Este símbolo ya se usó al menos en 1890. La primera edición de A Course of Modern Analysis de ET Whittaker en 1902 también lo usó. [21]
- ^ El Consorcio Unicode ha reconocido dos problemas con el nombre de la letra: la letra es de hecho minúscula y no es una letra de clase "script", comoU + 1D4C5 𝓅 GUIÓN MATEMÁTICA PEQUEÑA P , pero la letra de la función elíptica de Weierstrass. Unicode agregó el alias como corrección. [22] [23]
Referencias
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- ^ Hulek, Klaus. (2012), Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (en alemán) (2., überarb. U. Erw. Aufl. 2012 ed.), Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag, p. 12, ISBN 978-3-8348-2348-9
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- ^ "Anomalías conocidas en nombres de caracteres Unicode" . Nota técnica de Unicode n . ° 27 . versión 4. Unicode, Inc. 2017-04-10 . Consultado el 20 de julio de 2017 .
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- Konrad Knopp , Funktionentheorie II (1947), Publicaciones de Dover; Reeditado en traducción al inglés como Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
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- ET Whittaker y GN Watson , A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press , 1952, capítulos 20 y 21
enlaces externos
- "Funciones elípticas de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Funciones elípticas de Weierstrass en Mathworld .
- Capítulo 23, Funciones elípticas y modulares de Weierstrass en DLMF ( Biblioteca digital de funciones matemáticas ) por WP Reinhardt y PL Walker.