En el análisis complejo , el teorema de Mittag-Leffler se refiere a la existencia de funciones meromórficas con polos prescritos . Por el contrario, se puede utilizar para expresar cualquier función meromórfica como una suma de fracciones parciales . Es hermano del teorema de factorización de Weierstrass , que afirma la existencia de funciones holomórficas con ceros prescritos . Lleva el nombre de Gösta Mittag-Leffler .
Teorema
Dejar ser un escenario abierto en y un subconjunto discreto cerrado . Para cada en , dejar ser un polinomio en . Hay una función meromorfa. en tal que para cada , la función tiene solo una singularidad removible en. En particular, la parte principal de a es .
Un posible esquema de prueba es el siguiente. Si es finito, basta con tomar . Si no es finito, considere la suma finita dónde es un subconjunto finito de . Mientras que lapuede no converger cuando F se acerca a E , se pueden restar funciones racionales bien elegidas con polos fuera de D (proporcionadas por el teorema de Runge ) sin cambiar las partes principales del y de tal forma que se garantice la convergencia.
Ejemplo
Supongamos que deseamos una función meromórfica con polos simples de residuo 1 en todos los enteros positivos. Con la notación anterior, dejando
y , El teorema de Mittag-Leffler afirma (no constructivamente) la existencia de una función meromórfica con parte principal a para cada entero positivo . Estotiene las propiedades deseadas. De manera más constructiva podemos dejar
Esta serie converge normalmente en(como se puede mostrar usando la prueba M ) a una función meromórfica con las propiedades deseadas.
Expansiones de polos de funciones meromórficas
A continuación se muestran algunos ejemplos de expansiones de polos de funciones meromórficas:
Ver también
Referencias
- Ahlfors, Lars (1953), Análisis complejo (3.a ed.), McGraw Hill (publicado en 1979), ISBN 0-07-000657-1.
- Conway, John B. (1978), Funciones de una variable compleja I (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
enlaces externos
- "Teorema de Mittag-Leffler" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Teorema de Mittag-Leffler" . PlanetMath .