La celda de Wigner-Seitz , que lleva el nombre de Eugene Wigner y Frederick Seitz , es una celda primitiva que se ha construido aplicando la descomposición de Voronoi a una red cristalina . Se utiliza en el estudio de materiales cristalinos en física del estado sólido .
La propiedad única de un cristal es que sus átomos están dispuestos en una matriz tridimensional regular llamada red . Todas las propiedades atribuidas a los materiales cristalinos provienen de esta estructura altamente ordenada. Tal estructura exhibe simetría de traslación discreta . Para modelar y estudiar un sistema periódico de este tipo, se necesita un "mango" matemático para describir la simetría y, por lo tanto, sacar conclusiones sobre las propiedades del material como consecuencia de esta simetría. La celda de Wigner-Seitz es un medio para lograrlo.
Una celda de Wigner-Seitz es un ejemplo de celda primitiva , que es una celda unitaria que contiene exactamente un punto de celosía. Para cualquier celosía dada, hay un número infinito de posibles celdas primitivas. Sin embargo, solo hay una celda de Wigner-Seitz para cualquier celosía determinada. Es el lugar geométrico de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto reticular que de cualquiera de los otros puntos reticulares.
Una celda de Wigner-Seitz, como cualquier celda primitiva, es un dominio fundamental para la simetría de traducción discreta de la red. La celda primitiva de la red recíproca en el espacio de impulso se llama zona de Brillouin .
Descripción general
Fondo
El concepto de descomposición de voronoi fue investigado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , dando lugar al nombre de dominio de Dirichlet . Se hicieron contribuciones adicionales de Evgraf Fedorov , ( paraleloedro de Fedorov ), Georgy Voronoy ( poliedro de Voronoi ), [1] [2] y Paul Niggli ( Wirkungsbereich ). [3]
La aplicación a la física de la materia condensada fue propuesta por primera vez por Eugene Wigner y Frederick Seitz en un artículo de 1933, donde se utilizó para resolver la ecuación de Schrödinger para electrones libres en sodio elemental . [4] Aproximaron la forma de la celda de Wigner-Seitz en sodio, que es un octaedro truncado, como una esfera de igual volumen, y resolvieron la ecuación de Schrödinger exactamente usando condiciones de contorno periódicas , que requierenen la superficie de la esfera. Más tarde, John C. Slater realizó un cálculo similar que también tuvo en cuenta la naturaleza no esférica de la celda de Wigner-Seitz . [5]
Solo hay cinco poliedros topológicamente distintos que forman un espacio tridimensional , ℝ 3 . Estos se conocen como paralelosedros . Son tema de interés matemático, como en dimensiones superiores. [6] Estos cinco paralelosedros se pueden utilizar para clasificar las celosías tridimensionales utilizando el concepto de plano proyectivo, como sugirieron John Horton Conway y Neil Sloane . [7] Sin embargo, mientras que una clasificación topológica considera que cualquier transformación afín conduce a una clase idéntica, una clasificación más específica conduce a 24 clases distintas de poliedros voronoi con bordes paralelos que enlosan el espacio. [3] Por ejemplo, el cuboide rectangular , el prisma cuadrado recto y el cubo pertenecen a la misma clase topológica, pero se distinguen por diferentes proporciones de sus lados. Esta clasificación de los 24 tipos de poliedros voronoi para celosías de Bravais fue establecida por primera vez por Boris Delaunay . [8]
Definición
La celda de Wigner-Seitz alrededor de un punto reticular se define como el lugar de los puntos en el espacio que están más cerca de ese punto reticular que de cualquiera de los otros puntos reticulares. [9]
Se puede demostrar matemáticamente que una célula de Wigner-Seitz es una célula primitiva . Esto implica que la celda abarca todo el espacio directo sin dejar huecos ni huecos, una propiedad conocida como teselación .
Construyendo la celda
El concepto matemático general incorporado en una celda de Wigner-Seitz se denomina más comúnmente celda de Voronoi , y la partición del plano en estas celdas para un conjunto dado de sitios de puntos se conoce como diagrama de Voronoi .
La celda se puede elegir eligiendo primero un punto de celosía . Después de elegir un punto, se dibujan líneas a todos los puntos de celosía cercanos. En el punto medio de cada línea, se traza otra línea normal a cada uno de los primeros conjuntos de líneas.
En el caso de una celosía tridimensional, se dibuja un plano perpendicular en el punto medio de las líneas entre los puntos de la celosía. Al usar este método, el área (o volumen) más pequeña se encierra de esta manera y se denomina celda primitiva de Wigner-Seitz . Toda el área (o espacio) dentro de la celosía se rellenará con este tipo de celda primitiva y no dejará espacios.
Los puntos de celosía cercanos se examinan continuamente hasta que el área o volumen encerrado sea el área o volumen correcto para una celda primitiva . Alternativamente, si los vectores base de la red se reducen usando la reducción de la red, solo es necesario utilizar un número determinado de puntos de la red. [10] En dos dimensiones, solo se deben usar los puntos de celosía que forman las 4 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen. En tres dimensiones, solo se deben usar los puntos de celosía que forman las 8 celdas unitarias que comparten un vértice con el origen.
Clase topológica (el paraleloedro equivalente afín ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Octaedro truncado | Dodecaedro alargado | Dodecaedro rómbico | Prisma hexagonal | Cubo | ||
Celosía Bravais | Cúbico primitivo | Alguna | ||||
Cúbico centrado en la cara | Alguna | |||||
Cúbico centrado en el cuerpo | Alguna | |||||
Hexagonal primitivo | Alguna | |||||
Romboédrico primitivo | ||||||
Tetragonal primitivo | Alguna | |||||
Tetragonal centrada en el cuerpo | ||||||
Ortorrómbico primitivo | Alguna | |||||
Ortorrómbico centrado en la base | Alguna | |||||
Ortorrómbico centrado en la cara | Alguna | |||||
Ortorrómbico centrado en el cuerpo | ||||||
Monoclínico primitivo | Alguna | |||||
Monoclínico centrado en la base | , | , | ||||
, | ||||||
Triclínico primitivo | dónde | una vez | dónde |
Celosías compuestas
Para las redes compuestas (cristales que tienen más de un vector en su base ), cada punto de la red representa varios átomos. Podemos dividir cada célula de Wigner-Seitz en subcélulas mediante una mayor descomposición de Voronoi de acuerdo con el átomo más cercano, en lugar del punto de red más cercano. [12] Por ejemplo, la estructura del cristal de diamante contiene una base de dos átomos. En el diamante, los átomos de carbono tienen enlaces sp 3 tetraherales , pero dado que los tetraedros no forman espacio , la descomposición voronoi de la estructura cristalina del diamante es en realidad el panal tetraédrico triakis truncado . [13] Otro ejemplo es aplicar la descomposición de Voronoi a los átomos en las fases A15 , que forma la aproximación poliédrica de la estructura de Weaire-Phelan .
Simetría
La celda de Wigner-Seitz siempre tiene la misma simetría de puntos que la celosía de Bravais subyacente . [9] Por ejemplo, el cubo , el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico tienen simetría puntual O h , ya que las respectivas celosías de Bravais utilizadas para generarlos pertenecen al sistema de celosía cúbica , que tiene simetría puntual O h .
Zona de Brillouin
En la práctica, la celda de Wigner-Seitz en sí misma rara vez se usa como una descripción del espacio directo , donde generalmente se usan celdas unitarias convencionales . Sin embargo, la misma descomposición es extremadamente importante cuando se aplica al espacio recíproco . La celda de Wigner-Seitz en el espacio recíproco se llama zona de Brillouin , que contiene la información sobre si un material será un conductor , semiconductor o aislante .
Ver también
- Triangulación de Delaunay
- Geometría de coordinación
- Teoría del campo cristalino
Referencias
- ↑ Voronoi, Georges (1 de julio de 1908). "Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxième mémoire. Recherches sur les parallélloèdres primitifs". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario Crelles) (en francés). Walter de Gruyter GmbH. 1908 (134): 198-287. doi : 10.1515 / crll.1908.134.198 . ISSN 0075-4102 .
- ^ Voronoi, Georges (1 de julio de 1909). "Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxième Mémoire. Recherches sur les paralléloèdres primitifs". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario Crelles) (en francés). Walter de Gruyter GmbH. 1909 (136): 67–182. doi : 10.1515 / crll.1909.136.67 . ISSN 0075-4102 .
- ^ a b c Bohm, J .; Heimann, RB; Bohm, M. (1996). "Poliedros de Voronoi: una herramienta útil para determinar la clase de simetría y Bravais de celosías de cristal". Investigación y tecnología de cristal . Wiley. 31 (8): 1069–1075. doi : 10.1002 / crat.2170310816 . ISSN 0232-1300 .
- ^ E. Wigner ; F. Seitz (15 de mayo de 1933). "Sobre la constitución del sodio metálico". Revisión física . 43 (10): 804. doi : 10.1103 / PhysRev.43.804 .
- ^ Slater, JC (1 de junio de 1934). "Bandas de energía electrónica en metales". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 45 (11): 794–801. doi : 10.1103 / physrev.45.794 . ISSN 0031-899X .
- ^ Garber, AI (2012). "Cinturón de distancia entre facetas de zonotopos de relleno de espacio". Notas matemáticas . Pleiades Publishing Ltd. 92 (3–4): 345–355. arXiv : 1010.1698 . doi : 10.1134 / s0001434612090064 . ISSN 0001-4346 .
- ^ Austin, Dave (2011). "Cinco paralelosedros de Fedorov" . Sociedad Matemática Estadounidense. Archivado desde el original el 3 de enero de 2019.
- ^ Delone, BN ; Galiulin, RV; Shtogrin, MI (1975). "Sobre los tipos de celosías Bravais". Revista de matemáticas soviéticas . Springer Science and Business Media LLC. 4 (1): 79-156. doi : 10.1007 / bf01084661 . ISSN 0090-4104 .
- ^ a b c d Neil W. Ashcroft ; N. David Mermin (1976). Física del estado sólido . pag. 73–75 . ISBN 978-0030839931.
- ^ Hart, Gus LW; Jorgensen, Jeremy J; Morgan, Wiley S; Forcade, Rodney W (26 de junio de 2019). "Un algoritmo robusto para la generación de cuadrículas de k-puntos y la reducción de simetría" . Revista de comunicaciones de física . 3 (6): 065009. doi : 10.1088 / 2399-6528 / ab2937 . ISSN 2399-6528 .
- ^ Lulek, T; Florek, W; Wałcerz, S (1995). "Clases de Bravais, células de Vonoroï, símbolos de Delone". Simetría y propiedades estructurales de la materia condensada (PDF) . World Scientific. págs. 279–316. doi : 10.1142 / 9789814533508 . ISBN 978-981-02-2059-4.
- ^ Giuseppe Grosso; Giuseppe Pastori Parravicini (20 de marzo de 2000). Física del estado sólido . pag. 54. ISBN 978-0123044600.
- ^ Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). Las simetrías de las cosas . pag. 332. ISBN 978-1568812205.