Esfera con cuernos de Alexander
La esfera con cuernos de Alexander es un objeto patológico en topología descubierto por JW Alexander ( 1924 ).
La esfera con cuernos de Alejandro es la incrustación particular de una esfera en el espacio euclidiano tridimensional obtenida mediante la siguiente construcción, comenzando con un toro estándar : [1]
Al considerar solo los puntos de los toros que no se eliminan en algún momento, una incrustación da como resultado la esfera con un conjunto de Cantor eliminado. Esta incrustación se extiende a toda la esfera, ya que los puntos que se aproximan a dos puntos diferentes del conjunto de Cantor estarán al menos separados por una distancia fija en la construcción.
La esfera con cuernos, junto con su interior, es una bola topológica de 3 , la bola con cuernos de Alexander , y por lo tanto está simplemente conectada ; es decir, cada bucle se puede reducir a un punto mientras permanece dentro. El exterior no está simplemente conectado, a diferencia del exterior de la esfera redonda habitual; un bucle que une un toro en la construcción anterior no se puede reducir a un punto sin tocar la esfera con cuernos. Esto muestra que el teorema de Jordan-Schönflies no se cumple en tres dimensiones, como había pensado originalmente Alexander. Alexander también demostró que el teorema se cumple en tres dimensiones para lineales / suaves por partes.incrustaciones Este es uno de los primeros ejemplos en los que se hizo evidente la necesidad de distinguir entre las categorías de variedades topológicas , variedades diferenciables y variedades lineales por partes .
Ahora considere la esfera con cuernos de Alexander como una incrustación en la 3-esfera , considerada como la compactación de un punto del espacio euclidiano tridimensional R 3 . La clausura del dominio no simplemente conexo se llama esfera sólida con cuernos de Alejandro . Aunque la esfera sólida con cuernos no es una variedad , RH Bing demostró que su doble (que es la 3-variedad obtenida al pegar dos copias de la esfera con cuernos a lo largo de los puntos correspondientes de sus límites) es de hecho la 3-esfera. [2]Se pueden considerar otros pegados de la esfera cornuda sólida a una copia de sí misma, que surgen de diferentes homeomorfismos de la esfera límite a sí misma. También se ha demostrado que esto es la 3-esfera. La sólida esfera con cuernos de Alejandro es un ejemplo de un cubo arrugado ; es decir, un dominio complementario cerrado de la incrustación de una 2-esfera en la 3-esfera.
Se puede generalizar la construcción de Alexander para generar otras esferas con cuernos aumentando el número de cuernos en cada etapa de la construcción de Alexander o considerando la construcción análoga en dimensiones más altas.
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