En matemáticas , el lema de Hensel , también conocido como el lema de elevación de Hensel , llamado así por Kurt Hensel , es un resultado en aritmética modular , indicando que si una ecuación polinomial tiene una raíz simple módulo un número primo p , entonces esta raíz corresponde a una raíz única de la misma ecuación módulo cualquier potencia superior de p , que se puede encontrar " elevando " iterativamente la solución módulo potencias sucesivas de p . De manera más general, se utiliza como un nombre genérico para análogos de anillos conmutativos completos (incluido p-campos ádicos en particular) del método de Newton para resolver ecuaciones. Dado que el análisis p -ádico es en cierto modo más simple que el análisis real , existen criterios relativamente precisos que garantizan una raíz de un polinomio.
Declaración
Existen muchas declaraciones equivalentes del lema de Hensel. Podría decirse que la declaración más común es la siguiente.
Declaración general
Asumir es un campo completo con respecto a una valoración discreta normalizada (que significa para tenemos [1] pág. 121 ). Supongamos, además, que es el anillo de enteros de (es decir, todos los elementos de con valoración no negativa), dejemos ser tal que y deja denotar el campo de residuos . También podríamos escribir dónde .
Si
es un polinomio con coeficientes en y la reduccion
tiene una raíz simple (es decir, existe tal que y ), entonces existe un único tal que y la reduccion en . [2]
Reexpresión con ejemplo
Otra forma [1] pág. 129-131 de enunciar este lema es si admite una factorización en , entonces
en
para polinomios relativamente primos , entonces existen polinomios del mismo grado tal que
y su mod de reducción da la factorización anterior. Por ejemplo, [3] pág. 15-16 , con el polinomio, es irreductible en ya que no tiene una factorización en polinomios primos relativamente. Esto se debe a que su reducción es simplemente
En admite una factorización en como
dónde representa en . De ahí obtenemos la factorización
en .
Declaración alternativa
Otra forma de decir esto (en menos generalidad) es: dejemos ser un polinomio con coeficientes enteros (o p -enteros ádicos), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un número entero tal que
entonces existe un entero s tal que
Además, este s es único módulo p k + m , y se puede calcular explícitamente como el entero tal que
dónde es un entero satisfactorio
Tenga en cuenta que para que la condición se cumple. Como acotación al margen, si, entonces pueden existir 0, 1 o varios s (ver Levantamiento de Hensel a continuación).
Derivación
Usamos la expansión de Taylor de f alrededor de r para escribir:
De vemos que s - r = tp k para algún número entero t . Dejar
Para tenemos:
La suposición de que no es divisible por p asegura que tiene un mod inverso que es necesariamente único. Por tanto, existe una solución para t únicamente móduloy s existe únicamente módulo
Declaración simple
Para , si hay una solución de y (como sucede, por ejemplo, si no tiene soluciones), entonces existe un ascensor único tal que . Tenga en cuenta que dada una solución dónde , su proyección a da una solución a , por lo que el lema de Hensel da una forma de tomar soluciones y dar una solución en .
Observaciones
Criterio para polinomios irreducibles
Usando las hipótesis anteriores, si consideramos un polinomio irreducible
tal que , luego
En particular, para , encontramos en
pero , por tanto, el polinomio no puede ser irreductible. Mientras entenemos ambos valores de acuerdo, lo que significa que el polinomio podría ser irreducible. Para determinar la irreductibilidad, se debe emplear el polígono de Newton [1] pág . 144 .
Frobenius
Tenga en cuenta que dado un el endomorfismo de Frobenius da un polinomio que siempre tiene derivada cero
de ahí la p -ésima raíz de no existen en . Para, esto implica no puede contener la raíz de la unidad .
Raíces de unidad
Aunque el -th raíces de la unidad no están contenidas en , hay soluciones de . Nota
nunca es cero, por lo que si existe una solución, necesariamente se eleva a . Porque el Frobenius da, todos los elementos distintos de cero son soluciones. De hecho, estas son las únicas raíces de unidad contenidas en. [4]
Levantamiento de hensel
Usando el lema, uno puede "elevar" una raíz r del polinomio f módulo p k a una nueva raíz s módulo p k +1 tal que r ≡ s mod p k (tomando m = 1; tomando m más grande sigue por inducción ). De hecho, una raíz módulo p k +1 es también una raíz módulo p k , por lo que las raíces módulo p k +1 son precisamente las elevaciones de las raíces módulo p k . La nueva raíz s es congruente con r módulo p , por lo que la nueva raíz también satisfaceEntonces el levantamiento puede repetirse, y partiendo de una solución r k depodemos derivar una secuencia de soluciones r k +1 , r k +2 , ... de la misma congruencia para potencias sucesivamente mayores de p , siempre quepara la raíz inicial r k . Esto también muestra que f tiene el mismo número de raíces mod p k que mod p k +1 , mod p k +2 , o cualquier otra potencia superior de p , siempre que las raíces de f mod p k sean todas simples.
¿Qué sucede con este proceso si r no es un simple mod de raíz p ? Suponer
Luego implica Es decir, para todos los enteros t . Por tanto, tenemos dos casos:
- Si entonces no hay elevación de r a una raíz de f ( x ) módulo p k +1 .
- Si entonces cada elevación de r al módulo p k +1 es una raíz de f ( x ) módulo p k +1 .
Ejemplo. Para ver ambos casos examinamos dos polinomios diferentes con p = 2:
y r = 1. Entonces y Tenemos lo que significa que ninguna elevación de 1 a módulo 4 es una raíz de f ( x ) módulo 4.
y r = 1. Entonces y Sin embargo, desde podemos elevar nuestra solución al módulo 4 y ambos ascensores (es decir, 1, 3) son soluciones. La derivada sigue siendo 0 módulo 2, por lo que a priori no sabemos si podemos elevarlos al módulo 8, pero de hecho podemos, ya que g (1) es 0 módulo 8 y g (3) es 0 módulo 8, dando soluciones en 1, 3, 5 y 7 mod 8. Dado que de estos solo g (1) y g (7) son 0 mod 16, podemos elevar solo 1 y 7 a módulo 16, dando 1, 7, 9 y 15 mod 16. De estos, solo 7 y 9 dan g ( x ) = 0 mod 32, por lo que estos se pueden aumentar dando 7, 9, 23 y 25 mod 32. Resulta que para cada entero k ≥ 3, hay son cuatro elevaciones de 1 mod 2 a una raíz de g ( x ) mod 2 k .
Lema de Hensel para números p -ádicos
En los números p -ádicos, donde podemos dar sentido a los números racionales módulo potencias de p siempre que el denominador no sea un múltiplo de p , la recursividad de r k (raíces mod p k ) a r k +1 (raíces mod p k +1 ) se puede expresar de una manera mucho más intuitiva. En lugar de elegir t para que sea un entero (y) que resuelve la congruencia
sea t el número racional (el p k aquí no es realmente un denominador ya que f ( r k ) es divisible por p k ):
Entonces establece
Esta fracción puede no ser un número entero, pero es un entero p -ádico, y la secuencia de números r k converge en los enteros p -ádicos a una raíz de f ( x ) = 0. Además, la fórmula recursiva mostrada para el El (nuevo) número r k +1 en términos de r k es precisamente el método de Newton para encontrar raíces en ecuaciones en números reales.
Al trabajar directamente en los p -ádicos y usar el valor absoluto de p -ádico , hay una versión del lema de Hensel que se puede aplicar incluso si comenzamos con una solución de f ( a ) ≡ 0 mod p tal que Solo necesitamos asegurarnos de que el número no es exactamente 0. Esta versión más general es la siguiente: si hay un entero a que satisface:
entonces hay un único p -ádico entero b tal que f ( b ) = 0 yLa construcción de b equivale a mostrar que la recursividad del método de Newton con valor inicial a converge en los p -ádicos y dejamos que b sea el límite. La singularidad de b como raíz que se ajusta a la condición necesita trabajo adicional.
El enunciado del lema de Hensel anterior (tomando ) es un caso especial de esta versión más general, ya que las condiciones de que f ( a ) ≡ 0 mod p y dilo y
Ejemplos de
Suponga que p es un primo impar y a es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p . Entonces el lema de Hensel implica que a tiene una raíz cuadrada en el anillo de p -enteros ádicos De hecho, deja Si r es una raíz cuadrada de un módulo p, entonces:
donde la segunda condición depende del hecho de que p es impar. La versión básica del lema de Hensel nos dice que a partir de r 1 = r podemos construir recursivamente una secuencia de enteros tal que:
Esta secuencia converge a algún entero p -ádico b que satisface b 2 = a . De hecho, b es la raíz cuadrada única de a encongruente con r 1 módulo p . Por el contrario, si a es un cuadrado perfecto eny no es divisible por p, entonces es un residuo cuadrático distinto de cero mod p . Tenga en cuenta que la ley de reciprocidad cuadrática le permite a uno probar fácilmente si a es un residuo cuadrático distinto de cero mod p , así obtenemos una forma práctica de determinar qué p -números ádicos (para p impar) tienen una raíz cuadrada p -ádica, y puede extenderse para cubrir el caso p = 2 usando la versión más general del lema de Hensel (más adelante se da un ejemplo con raíces cuadradas 2-ádicas de 17).
Para hacer la discusión anterior más explícita, busquemos una "raíz cuadrada de 2" (la solución a ) en los enteros 7-ádicos. Modulo 7 una solución es 3 (también podríamos tomar 4), por lo que establecemos. El lema de Hensel nos permite entonces encontrar como sigue:
Sobre la base de la cual la expresión
se convierte en:
lo que implica Ahora:
Y efectivamente (Si hubiéramos usado la recursividad del método de Newton directamente en los 7-adics, entonces y )
Podemos continuar y encontrar . Cada vez que realizamos el cálculo (es decir, por cada valor sucesivo de k ), se suma un dígito más en base 7 para la siguiente potencia superior de 7. En los enteros 7-ádicos esta secuencia converge, y el límite es un cuadrado raíz de 2 en que tiene una expansión inicial de 7 ádicos
Si comenzamos con la elección inicial entonces el lema de Hensel produciría una raíz cuadrada de 2 en que es congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) y, de hecho, esta segunda raíz cuadrada sería el negativo de la primera raíz cuadrada (que es consistente con 4 = −3 mod 7).
Como ejemplo en el que la versión original del lema de Hensel no es válida, pero la más general sí lo es, y Luego y entonces
lo que implica que hay un entero b 2-ádico único que satisface
es decir, b ≡ 1 mod 4. Hay dos raíces cuadradas de 17 en los enteros 2-ádicos, que se diferencian por un signo, y aunque son congruentes mod 2 no son congruentes mod 4. Esto es consistente con la versión general de Hensel El lema solo nos da una raíz cuadrada 2-ádica única de 17 que es congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Si hubiéramos comenzado con la raíz aproximada inicial a = 3, entonces podríamos aplicar el lema de Hensel más general nuevamente para encontrar un única raíz cuadrada 2-ádica de 17 que es congruente con 3 mod 4. Esta es la otra raíz cuadrada 2-ádica de 17.
En términos de levantar las raíces de desde el módulo 2 k hasta 2 k +1 , las elevaciones que comienzan con la raíz 1 mod 2 son las siguientes:
- 1 mod 2 -> 1, 3 mod 4
- 1 mod 4 -> 1, 5 mod 8 y 3 mod 4 ---> 3, 7 mod 8
- 1 mod 8 -> 1, 9 mod 16 y 7 mod 8 ---> 7, 15 mod 16, mientras que 3 mod 8 y 5 mod 8 no levantan las raíces mod 16
- 9 mod 16 -> 9, 25 mod 32 y 7 mod 16 -> 7, 23 mod 16, mientras que 1 mod 16 y 15 mod 16 no se elevan a las raíces mod 32.
Para cada k al menos 3, hay cuatro raíces de x 2 - 17 mod 2 k , pero si nos fijamos en sus expansiones 2-adic podemos ver que en las parejas que están convergiendo a sólo dos límites 2-adic. Por ejemplo, las cuatro raíces mod 32 se dividen en dos pares de raíces, cada una de las cuales tiene el mismo mod 16:
- 9 = 1 + 2 3 y 25 = 1 + 2 3 + 2 4 .
- 7 = 1 + 2 + 2 2 y 23 = 1 + 2 + 2 2 + 2 4 .
Las raíces cuadradas 2-ádicas de 17 tienen expansiones
Otro ejemplo en el que podemos usar la versión más general del lema de Hensel pero no la versión básica es una prueba de que cualquier entero 3-ádico c ≡ 1 mod 9 es un cubo en Dejar y tomar la aproximación inicial a = 1. El lema básico de Hensel no se puede usar para encontrar raíces de f ( x ) ya quepor cada r . Para aplicar la versión general del lema de Hensel queremos lo que significa Es decir, si c ≡ 1 mod 27 entonces el lema general de Hensel nos dice que f ( x ) tiene una raíz 3-ádica, entonces c es un cubo 3-ádico. Sin embargo, queríamos tener este resultado bajo la condición más débil de que c ≡ 1 mod 9. Si c ≡ 1 mod 9 entonces c ≡ 1, 10 o 19 mod 27. Podemos aplicar el lema general de Hensel tres veces dependiendo del valor de c mod 27: si c ≡ 1 mod 27 entonces usa a = 1, si c ≡ 10 mod 27 entonces usa a = 4 (ya que 4 es una raíz de f ( x ) mod 27), y si c ≡ 19 mod 27 luego usa a = 7. (No es cierto que todo c ≡ 1 mod 3 sea un cubo 3-ádico, por ejemplo, 4 no es un cubo 3-ádico ya que no es un cubo mod 9.)
De manera similar, después de un trabajo preliminar, el lema de Hensel puede usarse para mostrar que para cualquier número primo impar p , cualquier entero p -ádico c congruente con 1 módulo p 2 es una p -ésima potencia en(Esto es falso para p = 2.)
Generalizaciones
Suponga que A es un anillo conmutativo , completo con respecto a un ideal y deja a ∈ A se llama una "raíz aproximada" de f , si
Si f tiene una raíz aproximada, entonces tiene una raíz exacta b ∈ A "cerca de" a ; es decir,
Además, si no es un divisor de cero, entonces b es único.
Este resultado se puede generalizar a varias variables de la siguiente manera:
- Teorema. Sea A un anillo conmutativo completo con respecto al ideal Dejar ser un sistema de n polinomios en n variables de más de A . Vista como un mapeo de A n a sí mismo, y dejemos denotar su matriz jacobiana . Suponga que a = ( a 1 , ..., a n ) ∈ A n es una solución aproximada de f = 0 en el sentido de que
- Entonces hay algo de b = ( b 1 , ..., b n ) ∈ A n que satisface f ( b ) = 0 , es decir,
- Además, esta solución es "cercana" a una en el sentido de que
Como caso especial, si por todo yo yes una unidad en A, entonces hay una solución de f ( b ) = 0 conpor todo i .
Cuando n = 1, a = a es un elemento de A y Las hipótesis de este lema de Hensel multivariable se reducen a las que se establecieron en el lema de Hensel de una variable.
Conceptos relacionados
La integridad de un anillo no es una condición necesaria para que el anillo tenga la propiedad henseliana: Goro Azumaya en 1950 definió un anillo local conmutativo que satisface la propiedad henseliana para que el ideal máximo m sea un anillo henseliano .
Masayoshi Nagata demostró en la década de 1950 que para cualquier anillo local conmutativo A con ideal máximo m siempre existe un anillo más pequeño A h que contiene A tal que A h es henseliano con respecto a m A h . Este Una h se llama el Henselization de A . Si A es noetheriano , A h también será noetheriano, y A h es manifiestamente algebraica, ya que se construye como un límite de vecindarios étale . Esto significa que A h suele ser mucho más pequeña que la terminación Â, pero conserva la propiedad henseliana y permanece en la misma categoría [ aclaración necesaria ] .
Ver también
- Teorema de Hasse-Minkowski
- Polígono de Newton
- Campo localmente compacto
- Lema de elevación del exponente
Referencias
- ↑ a b c Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC 851391469 .
- ^ Serge Lang, Teoría algebraica de números , Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43
- ^ Gras, Georges (2003). Teoría del campo de clase: de la teoría a la práctica . Berlina. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC 883382066 .
- ^ Conrad, Keith. "Lema de Hensel" (PDF) . pag. 4.
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
- Milne, JG (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7