Triángulo de Pascal

En matemáticas , el triángulo de Pascal es una matriz triangular de coeficientes binomiales que surge en la teoría de la probabilidad, la combinatoria y el álgebra. En gran parte del mundo occidental , lleva el nombre del matemático francés Blaise Pascal , aunque otros matemáticos lo estudiaron siglos antes que él en India, ^[1] Persia, ^[2] China, Alemania e Italia. ^[3]

Las filas del triángulo de Pascal se enumeran convencionalmente comenzando con la fila en la parte superior (la fila 0). Las entradas en cada fila están numeradas desde la izquierda comenzando con y generalmente están escalonadas en relación con los números en las filas adyacentes. El triángulo se puede construir de la siguiente manera: En la fila 0 (la fila superior), hay una entrada única distinta de cero 1. Cada entrada de cada fila subsiguiente se construye sumando el número de arriba y a la izquierda con el número de arriba y de a la derecha, tratando las entradas en blanco como 0. Por ejemplo, el número inicial en la primera (o cualquier otra) fila es 1 (la suma de 0 y 1), mientras que los números 1 y 3 en la tercera fila se suman para producir el número 4 en la cuarta fila.${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle k = 0}$

Se indica la entrada en la fila y columna del triángulo de Pascal . Por ejemplo, la entrada única distinta de cero en la fila superior es . Con esta notación, la construcción del párrafo anterior se puede escribir de la siguiente manera:${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle {n \ elige k}}$${\ Displaystyle {0 \ choose 0} = 1}$

para cualquier número entero no negativo y cualquier número entero . ^[4] Esta recurrencia de los coeficientes binomiales se conoce como regla de Pascal .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$

El triángulo de Pascal tiene generalizaciones dimensionales más altas . La versión tridimensional se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal , mientras que las versiones generales se llaman simplices de Pascal .

El patrón de números que forma el triángulo de Pascal se conocía mucho antes de la época de Pascal. Pascal innovó muchos usos no comprobados previamente de los números del triángulo, usos que describió de manera exhaustiva en el primer tratado matemático conocido especialmente dedicado al triángulo, su Traité du triangle arithmétique (1654; publicado en 1665).

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}}$

Un diagrama que muestra las primeras ocho filas del triángulo de Pascal.

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números directamente encima de él.

मेरु प्रस्तार (Meru Prastaara) como se usa en los manuscritos indios, derivado de las fórmulas de Pingala . Manuscrito de Raghunath Library J&K; 755 d.C.

El triángulo de Yang Hui , representado por los chinos usando números de varillas , aparece en un trabajo matemático de Zhu Shijie , fechado en 1303. El título dice "El antiguo método de tabla de los siete cuadrados de multiplicación" (chino: 古法 七 乘方 圖; el cuarto carácter 椉 en el título de la imagen es arcaico).

La versión de Pascal del triángulo

Visualización de expansión binomial hasta la 4a potencia

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\binom {0}{0}}\\{\binom {1}{0}}\quad {\binom {1}{1}}\\{\binom {2}{0}}\quad {\binom {2}{1}}\quad {\binom {2}{2}}\\{\binom {3}{0}}\quad {\binom {3}{1}}\quad {\binom {3}{2}}\quad {\binom {3}{3}}\\{\binom {4}{0}}\quad {\binom {4}{1}}\quad {\binom {4}{2}}\quad {\binom {4}{3}}\quad {\binom {4}{4}}\\{\binom {5}{0}}\quad {\binom {5}{1}}\quad {\binom {5}{2}}\quad {\binom {5}{3}}\quad {\binom {5}{4}}\quad {\binom {5}{5}}\end{array}}}$

Seis filas del triángulo de Pascal como coeficientes binomiales

Cada cuadro representa una fila en el triángulo de Pascal. Cada columna de píxeles es un número en binario con el bit menos significativo en la parte inferior. Los píxeles claros representan unos y los píxeles oscuros son ceros.

Derivación de números simplex a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda

Secuencia de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Una aproximación de nivel 4 a un triángulo de Sierpinski obtenida al sombrear las primeras 32 filas de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y negro si es impar.

			10
		10	20

El triángulo de Pascal superpuesto en una cuadrícula da el número de caminos distintos a cada cuadrado, asumiendo que solo se consideran los movimientos hacia la derecha y hacia abajo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{counting}&=binomial\end{aligned}}}$

Matriz binomial como matriz exponencial. Todos los puntos representan 0.

Coeficientes binomiales C  ( n , k ) extendidos para n negativos y fraccionarios , ilustrados con un binomio simple . Se puede observar que el triángulo de Pascal se rota y los términos alternativos se niegan. El caso n  = −1 da la serie de Grandi .