Objeto cero (álgebra)
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En álgebra , el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido que se explica a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Como conjunto es un singleton , y como magma tiene una estructura trivial , que también es un grupo abeliano . La estructura de grupo abeliana antes mencionada generalmente se identifica como suma , y el único elemento se llama cero , por lo que el objeto en sí generalmente se denota como {0} . A menudo se hace referencia a la objeto trivial (de un especificado categoría ) ya que cada objeto trivial esisomorfo a cualquier otro (bajo un isomorfismo único).
Las instancias del objeto cero incluyen, entre otras, las siguientes:
- Como grupo , el grupo cero o el grupo trivial .
- Como anillo , el anillo cero o el anillo trivial .
- Como álgebra sobre un campo o álgebra sobre un anillo , el álgebra trivial .
- Como módulo (sobre un anillo R ), el módulo cero . El término módulo trivial también se utiliza, aunque puede ser ambiguo, ya que un módulo G trivial es un módulo G con una acción trivial.
- Como espacio vectorial (sobre un campo R ), el espacio de vector cero , espacio vectorial de dimensión cero o simplemente espacio cero .
Estos objetos se describen conjuntamente, no solo en base a la estructura común del grupo único y trivial, sino también debido a las propiedades teóricas de categorías compartidas .
En los últimos tres casos, la multiplicación escalar por un elemento del anillo base (o campo) se define como:
- κ 0 = 0 , donde κ ∈ R .
El más general de ellos, el módulo cero, es un módulo de generación finita con un grupo electrógeno vacío .
Para las estructuras que requieren la estructura de multiplicación dentro del objeto cero, como el anillo trivial , solo hay uno posible, 0 × 0 = 0 , porque no hay elementos distintos de cero. Esta estructura es asociativa y conmutativa . Un anillo R que tiene una identidad tanto aditiva como multiplicativa es trivial si y solo si 1 = 0 , ya que esta igualdad implica que para todo r dentro de R ,
En este caso, es posible definir la división por cero , ya que el elemento individual es su propio inverso multiplicativo. Algunas propiedades de {0} dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa; ver § Estructuras unitarias más abajo.
Cualquier álgebra trivial es también un anillo trivial. Un álgebra trivial sobre un campo es simultáneamente un espacio vectorial cero que se considera a continuación . Sobre un anillo conmutativo , un álgebra trivial es simultáneamente un módulo cero.
El anillo trivial es un ejemplo de un rng de cuadrado cero . Un álgebra trivial es un ejemplo de un álgebra cero .
La dimensión cero el espacio vectorial es un ejemplo especialmente ubicuo de un objeto cero, un espacio vectorial sobre un campo con una base vacía. Por tanto, tiene dimensión cero. También es un grupo trivial sobre la suma , y un módulo trivial mencionado anteriormente .
Propiedades
| 2 ↕ | = | [ ] | ‹0 | ||
| ↔ 1 | ^ 0 | ↔ 1 | |||
| El elemento del espacio cero, escrito como un vector de columna vacía (el más a la derecha), se multiplica por una matriz vacía 2 × 0 para obtener el vector cero bidimensional (el más a la izquierda). Se respetan las reglas de multiplicación de matrices . | |||||
El anillo trivial, módulo de cero y el espacio vector cero son cero objetos de las correspondientes categorías , a saber, Rng , R - Mod y Vect R .
El objeto cero, por definición, debe ser un objeto terminal, lo que significa que debe existir un morfismo A → {0} y ser único para un objeto A arbitrario . Este morfismo asigna cualquier elemento de A a 0 .
El objeto cero, también por definición, debe ser un objeto inicial, lo que significa que un morfismo {0} → A debe existir y ser único para un objeto A arbitrario . Este morfismo asigna 0 , el único elemento de {0} , al elemento cero 0 ∈ A , llamado vector cero en espacios vectoriales. Este mapa es un monomorfismo y, por lo tanto, su imagen es isomórfica a {0} . Para módulos y espacios vectoriales, este subconjunto {0} ⊂ A es el único submódulo generado vacío (o subespacio lineal de dimensión 0 ) en cada módulo (o espacio vectorial) A.
Estructuras unitarias
El objeto {0} es un objeto terminal de cualquier estructura algebraica donde exista, como se describió en los ejemplos anteriores. Pero su existencia y, si existe, la propiedad de ser un objeto inicial (y por tanto, un objeto cero en el sentido teórico de la categoría ) dependen de la definición exacta de la identidad multiplicativa 1 en una estructura especificada.
Si la definición de 1 requiere que 1 ≠ 0 , entonces el objeto {0} no puede existir porque puede contener solo un elemento. En particular, el anillo cero no es un campo . Si los matemáticos a veces hablan de un campo con un elemento , este objeto matemático abstracto y algo misterioso no es un campo.
En categorías donde la identidad multiplicativa debe ser preservada por morfismos, pero puede ser igual a cero, el objeto {0} puede existir. Pero no como objeto inicial porque los morfismos que preservan la identidad de {0} a cualquier objeto donde 1 ≠ 0 no existen. Por ejemplo, en la categoría de anillos Ring, el anillo de números enteros Z es el objeto inicial, no {0} .
Si una estructura algebraica requiere la identidad multiplicativa, pero ni su preservación por morfismos ni 1 ≠ 0 , entonces existen cero morfismos y la situación no es diferente de las estructuras no unitales consideradas en la sección anterior.
Notación
Los espacios vectoriales cero y los módulos cero generalmente se indican con 0 (en lugar de {0} ). Este es siempre el caso cuando ocurren en una secuencia exacta .
Ver también
- Espacio nildimensional
- Trivialidad (matemáticas)
- Ejemplos de espacios vectoriales
- Campo con un elemento
- Semigrupo vacío
- Elemento cero
- Lista de términos cero
enlaces externos
- David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 10 : anillo trivial . ISBN 0-521-33718-6.
- Barile, Margherita . "Módulo Trivial" . MathWorld .
- Barile, Margherita. "Módulo cero" . MathWorld .
- Teoría del anillo
- Álgebra lineal
- 0 (número)
- Objetos (teoría de categorías)
