En geometría , si X es una variedad con una acción de un grupo topológico G por difeomorfismos analíticos, la noción de una estructura ( G , X ) en un espacio topológico es una forma de formalizarlo siendo localmente isomorfo a X con su G - estructura invariante; los espacios con estructuras ( G , X ) son siempre múltiples y se denominan múltiples ( G , X ) . Esta noción se usa a menudo con G como un grupo de Lie yX un espacio homogéneo para G . Los ejemplos fundamentales son las variedades hiperbólicas y las variedades afines .
Definición y ejemplos
Definicion formal
Dejar ser un colector diferencial conectado yser un subgrupo del grupo de difeomorfismos de que actúan analíticamente en el siguiente sentido:
- Si y hay un subconjunto abierto no vacío tal que son iguales cuando se restringen a luego
(esta definición está inspirada en la propiedad de continuación analítica de los difeomorfismos analíticos en una variedad analítica ).
A -estructura en un espacio topológico es una estructura múltiple encuyos gráficos de atlas tienen valores eny los mapas de transición pertenecen a. Esto significa que existe:
- una cubierta de por conjuntos abiertos (es decir );
- incrustaciones abiertas llamados gráficos;
de modo que cada mapa de transición es la restricción de un difeomorfismo en .
Dos de esas estructuras son equivalentes cuando están contenidos en uno máximo, de manera equivalente cuando su unión es también un estructura (es decir, los mapas y son restricciones de difeomorfismos en ).
Ejemplos de Riemann
Si es un grupo de mentiras yuna variedad riemanniana con una acción fiel depor isometrías entonces la acción es analítica. Usualmente uno toma para ser el grupo completo de isometría de . Entonces la categora de variedades es equivalente a la categoría de variedades de Riemann que son localmente isométricas a (es decir, cada punto tiene una vecindad isométrica a un subconjunto abierto de ).
A menudo, los ejemplos de son homogéneos bajo, por ejemplo uno puede tomar con una métrica invariante a la izquierda. Un ejemplo particularmente simple es y el grupo de isometrías euclidianas . Entonces uncolector es simplemente un colector plano .
Un ejemplo particularmente interesante es cuando es un espacio simétrico de Riemann , por ejemplo el espacio hiperbólico . El ejemplo más simple es el plano hiperbólico , cuyo grupo de isometría es isomorfo a.
Ejemplos pseudo-riemannianos
Cuándo es el espacio de Minkowski yel grupo de Lorentz la noción de un-La estructura es la misma que la de una variedad Lorentziana plana .
Otros ejemplos
Cuándo es el espacio afín y el grupo de transformaciones afines entonces se obtiene la noción de una variedad afín .
Cuándo es el espacio proyectivo real n-dimensional yse obtiene la noción de estructura proyectiva. [1]
Desarrollo de mapa e integridad
Mapa en desarrollo
Dejar ser un -manifold que está conectado (como un espacio topológico). El mapa en desarrollo es un mapa de la portada universal. a que sólo está bien definido hasta la composición por un elemento de .
Un mapa en desarrollo se define de la siguiente manera: [2] arreglar y deja ser cualquier otro punto, un camino desde a , y (dónde es un barrio lo suficientemente pequeño de ) un mapa obtenido al componer un gráfico de con la proyección . Podemos utilizar la continuación analítica a lo largo de extender para que su dominio incluya . Desdeestá simplemente conectado el valor de así obtenido no depende de la elección original de , y llamamos al mapa (bien definido) un mapa en desarrollo para el-estructura. Depende de la elección del punto base y el gráfico, pero solo hasta la composición por un elemento de.
Monodromía
Dado un mapa en desarrollo , la monodromía u holonomía [3] de un-estructura es el morfismo único que satisface
- .
Depende de la elección de un mapa en desarrollo, pero solo hasta un automorfismo interno de.
Estructuras completas ( G , X )
A Se dice que la estructura está completa si tiene un mapa en desarrollo que también es un mapa de cobertura (esto no depende de la elección del mapa en desarrollo, ya que se diferencian por un difeomorfismo). Por ejemplo, si simplemente está conectado, la estructura está completa si y solo si el mapa en desarrollo es un difeomorfismo.
Ejemplos de
Estructuras de Riemann ( G , X )
Si es una variedad de Riemann y su grupo completo de isometría, luego un -La estructura es completa si y solo si la variedad Riemanniana subyacente es geodésicamente completa (equivalentemente completa métricamente). En particular, en este caso, si el espacio subyacente de un-el colector es compacto, entonces este último se completa automáticamente.
En el caso donde es el plano hiperbólico el mapa en desarrollo es el mismo mapa dado por el Teorema de Uniformización .
Otros casos
En general, la compacidad del espacio no implica la integridad de un -estructura. Por ejemplo, una estructura afín en el toro está completa si y solo si el mapa de monodromía tiene su imagen dentro de las traducciones . Pero hay muchos toros afines que no satisfacen esta condición, por ejemplo, cualquier cuadrilátero con sus lados opuestos pegados por un mapa afín produce una estructura afín en el toro, que es completa si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo.
Los espaciotiempos de Margulis dan ejemplos interesantes de variedades afines completas y no compactas.
( G , X ) -estructuras como conexiones
En la obra de Charles Ehresmann -estructuras en un colector se ven como conexiones planas de Ehresmann en haces de fibra con fibra encima , cuyos mapas de monodromía se encuentran en.
Notas
Referencias
- Thurston, William (1997). Geometría y topología tridimensionales. Vol. 1 . Prensa de la Universidad de Princeton.