En matemáticas , se dice que una variedad abeliana A definida sobre un campo K tiene tipo CM si tiene un subanillo conmutativo lo suficientemente grande en su anillo de endomorfismo End( A ). La terminología aquí proviene de la teoría de la multiplicación compleja , que se desarrolló para las curvas elípticas en el siglo XIX. Uno de los mayores logros en la teoría algebraica de números y la geometría algebraica del siglo XX fue encontrar las formulaciones correctas de la teoría correspondiente para variedades abelianas de dimensión d > 1. El problema está en un nivel más profundo de abstracción, porque es mucho más difícil manipular funciones analíticas de varias variables complejas .
el producto tensorial de End( A ) con el campo numérico racional Q , debe contener un subanillo conmutativo de dimensión 2 d sobre Q . Cuando d = 1 esto sólo puede ser un campo cuadrático , y se recuperan los casos donde End( A ) es un orden en un campo cuadrático imaginario . Para d > 1 hay casos comparables para campos CM , las extensiones cuadráticas complejas de campos totalmente reales . Hay otros casos que reflejan que Apuede no ser una variedad abeliana simple (podría ser un producto cartesiano de curvas elípticas, por ejemplo). Otro nombre para las variedades abelianas de tipo CM es variedades abelianas con suficientes multiplicaciones complejas .
Se sabe que si K son los números complejos, entonces cualquier A tiene un campo de definición que es, de hecho, un campo numérico . Los posibles tipos de anillo de endomorfismo se han clasificado como anillos con involución (la involución de Rosati ), dando lugar a una clasificación de variedades abelianas de tipo CM. Para construir tales variedades en el mismo estilo que para las curvas elípticas, comenzando con un retículo Λ en C d , se deben tener en cuenta las relaciones de Riemann de la teoría de variedades abeliana.
El tipo CM es una descripción de la acción de un subanillo conmutativo (máximo) L del extremo Q ( A ) en el espacio tangente holomorfo de A en el elemento de identidad . Se aplica la teoría espectral de un tipo simple, para mostrar que L actúa a través de una base de vectores propios ; en otras palabras , L tiene una acción que es a través de matrices diagonales en los campos vectoriales holomorfos en A. En el caso simple, donde L es en sí mismo un campo numérico en lugar de un producto de algún número de campos, el tipo CM es entonces una lista deincrustaciones complejas de L . Hay 2 d de esos, que ocurren en pares conjugados complejos ; el tipo CM es una elección de uno de cada par. Se sabe que pueden realizarse todos estos tipos de CM posibles.
Los resultados básicos de Goro Shimura y Yutaka Taniyama calculan la función L de Hasse-Weil de A , en términos del tipo CM y una función L de Hecke con el carácter de Hecke , del que se deriva un tipo infinito . Estos generalizan los resultados de Max Deuring para el caso de la curva elíptica.