En matemáticas , la aceleración de series es una de una colección de transformaciones de secuencia para mejorar la tasa de convergencia de una serie . Las técnicas para la aceleración en serie se aplican a menudo en el análisis numérico , donde se utilizan para mejorar la velocidad de la integración numérica . También se pueden usar técnicas de aceleración en serie, por ejemplo, para obtener una variedad de identidades en funciones especiales . Por lo tanto, la transformada de Euler aplicada a la serie hipergeométrica da algunas de las identidades clásicas y conocidas de las series hipergeométricas.
Definición
Dada una secuencia
tener un límite
una serie acelerada es una segunda secuencia
que converge más rápido a que la secuencia original, en el sentido de que
Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia actúa como un método de extrapolación al antilímite .
Las asignaciones de la serie original a la transformada pueden ser lineales (como se define en las transformaciones de secuencia del artículo ) o no lineales. En general, las transformaciones de secuencia no lineal tienden a ser más poderosas.
Descripción general
Dos técnicas clásicas para la aceleración de series son la transformación de series de Euler [1] y la transformación de series de Kummer . [2] En el siglo XX se ha desarrollado una variedad de herramientas convergentes y de casos especiales mucho más rápidos, incluida la extrapolación de Richardson , introducida por Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX pero también conocida y utilizada por Katahiro Takebe en 1722; el proceso delta-cuadrado de Aitken , introducido por Alexander Aitken en 1926 pero también conocido y utilizado por Takakazu Seki en el siglo XVIII; el método épsilon dado por Peter Wynn en 1956; la transformada en U de Levin ; y el método de Wilf-Zeilberger-Ekhad o método WZ .
Para series alternas , varias técnicas poderosas, que ofrecen tasas de convergencia de todo el camino hasta para una suma de términos, son descritos por Cohen et al . [3]
Transformada de Euler
Un ejemplo básico de una transformación de secuencia lineal , que ofrece una convergencia mejorada, es la transformada de Euler. Está destinado a ser aplicado a una serie alterna; es dado por
dónde es el operador de diferencia hacia adelante , para el cual se tiene la fórmula
Si la serie original, en el lado izquierdo, está convergiendo lentamente, las diferencias hacia adelante tenderán a hacerse pequeñas con bastante rapidez; la potencia adicional de dos mejora aún más la velocidad a la que converge el lado derecho.
Una implementación numérica particularmente eficiente de la transformada de Euler es la transformación de van Wijngaarden . [4]
Mapeos conformales
Una serie
se puede escribir como f (1), donde la función f se define como
La función f ( z ) puede tener singularidades en el plano complejo ( singularidades de punto de ramificación , polos o singularidades esenciales ), que limitan el radio de convergencia de la serie. Si el punto z = 1 está cerca o en el límite del disco de convergencia, la serie de S convergerá muy lentamente. Luego, se puede mejorar la convergencia de la serie mediante un mapeo conforme que mueva las singularidades de manera que el punto que se mapea az = 1 termine más profundo en el nuevo disco de convergencia.
La transformada conforme necesita ser elegido de tal manera que , y normalmente se elige una función que tiene una derivada finita en w = 0. Se puede suponer quesin pérdida de generalidad, ya que siempre se puede cambiar la escala w para redefinir. Luego consideramos la función
Desde , tenemos f (1) = g (1). Podemos obtener la expansión en serie de g ( w ) poniendoen la expansión en serie de f ( z ) porque; los primeros n términos de la expansión en serie para f ( z ) producirán los primeros n términos de la expansión en serie para g ( w ) si. Poner w = 1 en esa expansión de la serie producirá una serie tal que, si converge, convergerá al mismo valor que la serie original.
Transformaciones de secuencia no lineal
Ejemplos de tales transformaciones de secuencia no lineal son las aproximaciones de Padé , la transformación de Shanks y las transformaciones de secuencia de tipo Levin .
Las transformaciones de secuencia especialmente no lineales a menudo proporcionan métodos numéricos poderosos para la suma de series divergentes o series asintóticas que surgen, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones , y pueden usarse como métodos de extrapolación altamente efectivos .
Método Aitken
Una transformación de secuencia no lineal simple es la extrapolación de Aitken o el método delta-cuadrado,
definido por
Esta transformación se usa comúnmente para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia que converge lentamente; heurísticamente, elimina la mayor parte del error absoluto .
Ver también
- Transformación de Shanks
- Extrapolación polinomial mínima
- Transformación de Van Wijngaarden
Referencias
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.27" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.26" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Henri Cohen , Fernando Rodríguez Villegas y Don Zagier , " Aceleración de convergencia de series alternas ", Matemáticas experimentales , 9 : 1 (2000) página 3.
- ^ William H. Press, et al. , Recetas numéricas en C , (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Ver sección 5.1).
- C. Brezinski y M. Redivo Zaglia, Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , Holanda Septentrional, 1991.
- GA Baker Jr. y P. Graves-Morris, Padé Approximants , Cambridge UP, 1996.
- Weisstein, Eric W. "Mejora de la convergencia" . MathWorld .
- Herbert HH Homeier, Transformaciones de secuencia escalar de tipo Levin , Revista de matemáticas computacionales y aplicadas, vol. 122, no. 1-2, pág. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). "Transformaciones de secuencia escalar tipo Levin". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 122 : 81. arXiv : math / 0005209 . Código Bibliográfico : 2000JCoAM.122 ... 81H . doi : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00359-9 ., arXiv : matemáticas / 0005209 .
- Brezinski, C. y Redivo-Zaglia, M. (2019). La génesis y los primeros desarrollos del proceso de Aitken, la transformación de Shanks, la-algoritmo y métodos de punto fijo relacionados. Algoritmos numéricos, 80 (1), 11-133.
enlaces externos
- Aceleración de convergencia de series
- Biblioteca científica GNU, Aceleración de series
- Biblioteca digital de funciones matemáticas