En matemáticas , una operación de Adams , denotada ψ k para números naturales k , es una operación de cohomología en la teoría K topológica , o cualquier operación relacionada en la teoría K algebraica u otros tipos de construcción algebraica, definida en un patrón introducido por Frank Adams . La idea básica es implementar algunas identidades fundamentales en la teoría de funciones simétricas , a nivel de paquetes vectoriales u otros objetos representativos en teorías más abstractas.
Las operaciones de Adams se pueden definir de manera más general en cualquier anillo λ sobre los números racionales.
Operaciones de Adams en la teoría K
Las operaciones de Adams ψ k en la teoría K (algebraica o topológica) se caracterizan por las siguientes propiedades.
- ψ k son homomorfismos de anillo .
- ψ k (l) = l k si l es la clase de un paquete de líneas .
- ψ k son funtorial .
La idea fundamental es que para un paquete de vectores V en un espacio topológico X , existe una analogía entre los operadores de Adams y las potencias exteriores , en la que
- ψ k ( V ) es a Λ k ( V )
como
- la suma de potencia Σ α k es a la k -ésima función simétrica elemental σ k
de las raíces α de un polinomio P ( t ). (Véanse las identidades de Newton ). Aquí den k denota la k -ésima potencia exterior. Del álgebra clásica se sabe que las sumas de potencia son ciertos polinomios integrales Q k en el σ k . La idea es aplicar los mismos polinomios a Λ k ( V ), tomando el lugar de σ k . Este cálculo se puede definir en un grupo K , en el que los paquetes de vectores se pueden combinar formalmente mediante suma, resta y multiplicación ( producto tensorial ). Los polinomios aquí se denominan polinomios de Newton (no, sin embargo, los polinomios de Newton de la teoría de la interpolación ).
La justificación de las propiedades esperadas proviene del caso del paquete de líneas, donde V es una suma de Whitney de paquetes de líneas. En este caso especial, el resultado de cualquier operación de Adams es, naturalmente, un conjunto de vectores, no una combinación lineal de unos en la teoría K. Tratar formalmente los factores directos del haz de líneas como raíces es algo bastante estándar en la topología algebraica (cf. el teorema de Leray-Hirsch ). En general, un mecanismo para reducir a ese caso proviene del principio de división para paquetes de vectores.
Operaciones de Adams en la teoría de la representación de grupos
La operación de Adams tiene una expresión simple en la teoría de la representación de grupos . [1] Sea G un grupo y ρ una representación de G con el carácter χ. La representación ψ k (ρ) tiene carácter
Referencias
- ^ Snaith, vicepresidente (1994). Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 40 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 108 . ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005 .
- Adams, JF (mayo de 1962). "Campos vectoriales en esferas". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 75 (3): 603–632. doi : 10.2307 / 1970213 . Zbl 0112.38102 .