En matemáticas , una expresión de forma cerrada es una expresión matemática que utiliza un número finito de operaciones estándar. Puede contener constantes , variables , ciertas operaciones bien conocidas (p. ej., + − × ÷) y funciones (p. ej., raíz enésima , exponente , logaritmo , funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas inversas ), pero normalmente no tiene límite , diferenciación , o integración. El conjunto de operaciones y funciones puede variar según el autor y el contexto.
Las soluciones de cualquier ecuación cuadrática con coeficientes complejos se pueden expresar en forma cerrada en términos de suma , resta , multiplicación , división y extracción de raíces cuadradas , cada una de las cuales es una función elemental . Por ejemplo, la ecuación cuadrática
es manejable ya que sus soluciones se pueden expresar como una expresión de forma cerrada, es decir, en términos de funciones elementales:
De manera similar, las soluciones de ecuaciones cúbicas y de cuarto grado (tercer y cuarto grado) se pueden expresar usando aritmética, raíces cuadradas y raíces enésimas . Sin embargo, existen ecuaciones quínticas sin tales soluciones de forma cerrada, por ejemplo x 5 − x + 1 = 0 ; este es el teorema de Abel-Ruffini .
El estudio de la existencia de formas cerradas para raíces de polinomios es la motivación inicial y uno de los principales logros del área de las matemáticas denominada teoría de Galois .
Cambiar la definición de "bien conocido" para incluir funciones adicionales puede cambiar el conjunto de ecuaciones con soluciones de forma cerrada. Muchas funciones de distribución acumulativa no se pueden expresar en forma cerrada, a menos que se consideren funciones especiales como la función de error o la función gamma como bien conocidas. Es posible resolver la ecuación quíntica si se incluyen funciones hipergeométricas generales , aunque la solución es demasiado complicada algebraicamente para ser útil. Para muchas aplicaciones informáticas prácticas, es completamente razonable suponer que la función gamma y otras funciones especiales son bien conocidas, ya que las implementaciones numéricas están ampliamente disponibles.