En matemáticas , las funciones hiperbólicas inversas son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas .
Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa correspondiente proporciona el ángulo hiperbólico correspondiente . El tamaño del ángulo hiperbólico es igual al área del sector hiperbólico correspondiente de la hipérbola xy = 1 , o el doble del área del sector correspondiente de la hipérbola unitaria x 2 - y 2 = 1 , al igual que un ángulo circular es dos veces el área del sector circular del círculo unitario . Algunos autores han llamado a las funciones hiperbólicas inversas " funciones de área " para realizar los ángulos hiperbólicos. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Las funciones hiperbólicas ocurren en los cálculos de ángulos y distancias en geometría hiperbólica . También ocurre en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física , incluida la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .
Notación
Las abreviaturas más comunes son las especificadas por la norma ISO 80000-2 . Consisten en ar- seguidos de la abreviatura de la función hiperbólica correspondiente (p. Ej., Arsinh, arcosh).
Sin embargo, el arco seguido de la función hiperbólica correspondiente (p. Ej., Arcsinh, arccosh) también se ve comúnmente, por analogía con la nomenclatura para funciones trigonométricas inversas . [9] Estos son nombres erróneos, ya que el prefijo arc es la abreviatura de arcus , mientras que el prefijo ar significa área ; las funciones hiperbólicas no están directamente relacionadas con los arcos. [10] [11] [12]
Otros autores prefieren usar la notación arg sinh, argcosh, argtanh, etc., donde el prefijo arg es la abreviatura del argumento latino . [13] En ciencias de la computación, esto a menudo se abrevia como asinh .
También se utiliza la notación sinh −1 ( x ) , cosh −1 ( x ) , etc., [14] [15] [16] [17] a pesar de que se debe tener cuidado para evitar malas interpretaciones del superíndice - 1 como potencia, en contraposición a una abreviatura para denotar la función inversa (por ejemplo, cosh −1 ( x ) versus cosh ( x ) −1 ).
Definiciones en términos de logaritmos
Dado que las funciones hiperbólicas son funciones racionales de e x cuyo numerador y denominador son de grado como máximo dos, estas funciones pueden resolverse en términos de e x , utilizando la fórmula cuadrática ; luego, tomando el logaritmo natural se obtienen las siguientes expresiones para las funciones hiperbólicas inversas.
Para argumentos complejos , las funciones hiperbólicas inversas, la raíz cuadrada y el logaritmo son funciones de valores múltiples , y las igualdades de las siguientes subsecciones pueden verse como iguales de funciones de valores múltiples.
Para todas las funciones hiperbólicas inversas (salvo la cotangente hiperbólica inversa y la cosecante hiperbólica inversa), el dominio de la función real está conectado .
Seno hiperbólico inverso
Seno hiperbólico inverso (también conocido como seno hiperbólico de área) (latín: área sinus hyperbolicus ): [14] [15]
El dominio es toda la línea real .
Coseno hiperbólico inverso
Coseno hiperbólico inverso (también conocido como coseno hiperbólico de área ) (latín: área cosinus hyperbolicus ): [14] [15]
El dominio es el intervalo cerrado [1, + ∞) .
Tangente hiperbólica inversa
Tangente hiperbólica inversa (también conocida como tangente hiperbólica rea ) (latín: Area tangens hyperbolicus ): [15]
El dominio es el intervalo abierto (-1, 1) .
Cotangente hiperbólica inversa
Cotangente hiperbólica inversa (también conocida como cotangente hiperbólica de área ) (latín: cotangens hyperbolicus de área ):
El dominio es la unión de los intervalos abiertos (−∞, −1) y (1, + ∞) .
Secante hiperbólica inversa
Secante hiperbólica inversa (también conocida como secante hiperbólica de área ) (latín: Área secans hyperbolicus ):
El dominio es el intervalo semiabierto (0, 1] .
Cosecante hiperbólica inversa
Cosecante hiperbólica inversa (también conocida como cosecante hiperbólica de área ) (latín: cosecante de área hiperbólica ):
El dominio es la línea real con 0 eliminado.
Fórmulas de suma
Otras identidades
Composición de funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas
Composición de funciones hiperbólicas y trigonométricas inversas
- [18]
Conversiones
Derivados
Para una diferenciación de ejemplo: sea θ = arsinh x , entonces (donde sinh 2 θ = (sinh θ ) 2 ):
Expansiones de series
Se pueden obtener series de expansión para las funciones anteriores:
La expansión asintótica para el arsinh x viene dada por
Valores principales en el plano complejo
Como funciones de una variable compleja , las funciones hiperbólicas inversas son funciones de valores múltiples que son analíticas , excepto en un número finito de puntos. Para tal función, es común definir un valor principal , que es una función analítica de un solo valor que coincide con una rama específica de la función multivalor, sobre un dominio que consiste en el plano complejo en el que un número finito de arcos (generalmente la mitad líneas o segmentos de línea ) se han eliminado. Estos arcos se denominan cortes de rama . Para especificar la rama, es decir, definir qué valor de la función multivalor se considera en cada punto, generalmente se define en un punto particular y se deduce el valor en todas partes en el dominio de definición del valor principal por continuación analítica . Cuando sea posible, es mejor definir el valor principal directamente, sin hacer referencia a la continuación analítica.
Por ejemplo, para la raíz cuadrada, el valor principal se define como la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva . Esto define una función analítica de valor único, que se define en todas partes, excepto para los valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen una parte real cero). Este valor principal de la función raíz cuadrada se denotaen lo que sigue. De manera similar, el valor principal del logaritmo, denotadoen lo que sigue, se define como el valor para el que la parte imaginaria tiene el valor absoluto más pequeño. Se define en todas partes excepto en los valores reales no positivos de la variable, para los cuales dos valores diferentes del logaritmo alcanzan el mínimo.
Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal puede definirse en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logarítmica. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas de § Definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición que es demasiado pequeño y, en un caso, no conectado .
Valor principal del seno hiperbólico inverso
El valor principal del seno hiperbólico inverso está dado por
El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo, si y solo si z pertenece a uno de los intervalos [ i , + i ∞) y (- i ∞, - i ] del eje imaginario. Si el argumento de el logaritmo es real, entonces es positivo. Por lo tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama [ i , + i ∞) y (- i ∞, - i ] . Esto es óptimo, ya que los cortes de rama deben conectar los puntos singulares i y - i hasta el infinito.
Valor principal del coseno hiperbólico inverso
La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en § Coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que similar a los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal de arcosh no estaría definido para z imaginario . Por lo tanto, la raíz cuadrada debe factorizarse, lo que lleva a
Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z pertenece al intervalo real (−∞, 1] . Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es real y tiene el mismo signo. Por lo tanto, la fórmula anterior define un valor principal de arcosh fuera del intervalo real (−∞, 1] , que es, por tanto, el único corte de rama.
Valores principales de la tangente hiperbólica inversa y cotangente
Las fórmulas dadas en § Definiciones en términos de logaritmos sugieren
para la definición de los valores principales de la tangente hiperbólica inversa y la cotangente. En estas fórmulas, el argumento del logaritmo es real si y solo si z es real. Para artanh, este argumento está en el intervalo real (−∞, 0] , si z pertenece a (−∞, −1] o a [1, ∞) . Para arcoth, el argumento del logaritmo está en (−∞ , 0] , si y solo si z pertenece al intervalo real [−1, 1] .
Por lo tanto, estas fórmulas definen valores principales convenientes, para los cuales los cortes de rama son (−∞, −1] y [1, ∞) para la tangente hiperbólica inversa, y [−1, 1] para la cotangente hiperbólica inversa.
En vista de una mejor evaluación numérica cerca de los cortes de rama, algunos autores [ cita requerida ] utilizan las siguientes definiciones de los valores principales, aunque la segunda introduce una singularidad removible en z = 0 . Las dos definiciones de difieren para los valores reales de con . Los de difieren para los valores reales de con .
Valor principal de la cosecante hiperbólica inversa
Para la cosecante hiperbólica inversa, el valor principal se define como
- .
Se define cuando los argumentos del logaritmo y la raíz cuadrada no son números reales no positivos. El valor principal de la raíz cuadrada se define así fuera del intervalo [- i , i ] de la línea imaginaria. Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es un número real distinto de cero, y esto implica que el argumento del logaritmo es positivo.
Por lo tanto, el valor principal se define por la fórmula anterior fuera del corte de la rama , que consiste en el intervalo [- i , i ] de la línea imaginaria.
Para z = 0 , hay un punto singular que se incluye en el corte de la rama.
Valor principal de la secante hiperbólica inversa
Aquí, como en el caso del coseno hiperbólico inverso, tenemos que factorizar la raíz cuadrada. Esto da el valor principal
Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces z es real, y se deduce que ambos valores principales de raíces cuadradas están definidos, excepto si z es real y pertenece a uno de los intervalos (−∞, 0] y [1, + ∞) . Si el argumento del logaritmo es real y negativo, entonces z también es real y negativo. De ello se deduce que el valor principal de arsech está bien definido, por la fórmula anterior fuera de dos cortes de rama , los intervalos reales (−∞, 0] y [1, + ∞) .
Para z = 0 , hay un punto singular que se incluye en uno de los cortes de rama.
Representación grafica
En la siguiente representación gráfica de los valores principales de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de rama aparecen como discontinuidades del color. El hecho de que todos los cortes de rama aparezcan como discontinuidades, muestra que estos valores principales pueden no extenderse a funciones analíticas definidas en dominios más amplios. En otras palabras, los cortes de rama definidos anteriormente son mínimos.
Ver también
- Logaritmo complejo
- Distribución secante hiperbólica
- ISO 80000-2
- Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas
Referencias
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Otra forma de notación, arcsinh x , arccosh x , etc., es una práctica que debe ser condenada ya que estas funciones no tienen nada que ver con arc , sino con ar ea, como lo demuestran sus nombres latinos completos,
área de arsinh seno hiperbólico
arcosh hiperbólico cosinus área, etc.
- ^ Según lo declarado por Eberhard Zeidler , Wolfgang Hackbusch y Hans Rudolf Schwarz, traducido por Bruce Hunt, Oxford Users 'Guide to Mathematics (Oxford: Oxford University Press , 2004), ISBN 0-19-850763-1 , Sección 0.2.13: "Las funciones hiperbólicas inversas", p. 68: "Los nombres latinos para las funciones hiperbólicas inversas son area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus y area cotangens hyperbolicus (de x ). ..." Esta referencia mencionada usa las notaciones arsinh, arcosh, artanh y arcoth para las respectivas funciones hiperbólicas inversas.
- ^ Según lo declarado por Ilja N. Bronshtein , Konstantin A. Semendyayev , Gerhard Musiol y Heiner Mühlig, Handbook of Mathematics (Berlín: Springer-Verlag , 5a ed., 2007), ISBN 3-540-72121-5 , doi : 10.1007 / 978-3-540-72122-2 , Sección 2.10: "Funciones de área", p. 91:
Las funciones de área son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas, es decir, las funciones hiperbólicas inversas . Las funciones sinh x , tanh x y coth x son estrictamente monótonas, por lo que tienen inversas únicas sin ninguna restricción; la función cosh x tiene dos intervalos monótonos, por lo que podemos considerar dos funciones inversas. El área de nombre se refiere al hecho de que la definición geométrica de las funciones es el área de ciertos sectores hiperbólicos ...
- ^ Tocino, Harold Maile (1942). Cálculo diferencial e integral . McGraw-Hill. pag. 203.
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Bibliografía
- Herbert Busemann y Paul J. Kelly (1953) Geometría proyectiva y métricas proyectivas , página 207, Academic Press .
enlaces externos
- "Funciones hiperbólicas inversas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]