En geometría , John Horton Conway define las teselaciones arquitectónicas y catóptricas como las teselaciones uniformes (o panales ) del espacio tridimensional euclidiano y sus duales , como análogo tridimensional del mosaico platónico, arquimediano y catalán del plano. La figura del vértice singular de una teselación arquitectónica es el dual de la celda de la teselación catópica . El cubille es la única teselación platónica (regular) de 3 espacios, y es auto-dual. Hay otros panales uniformes construidos como pilas prismáticas. (y sus duales) que están excluidos de estas categorías.
Los pares de teselaciones arquitectónicas y catóptricas se enumeran a continuación con su grupo de simetría . Estas teselaciones solo representan cuatro grupos espaciales de simetría , y también todos dentro del sistema de cristal cúbico . Muchas de estas teselaciones se pueden definir en múltiples grupos de simetría, por lo que en cada caso se expresa la simetría más alta.
Árbitro. [1] índices | Simetría | Teselación arquitectónica | Teselación catóptrica | ||||
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Nombre Diagrama de Coxeter Imagen | Imagen de figura de vértice | Células | Nombre | Célula | Figuras de vértice | ||
J 11,15 A 1 W 1 G 22 δ 4 | nc [4,3,4] | Cubille | octaedro , | Cubille | cubo , | ||
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 | nc [4,3,4] | Cuboctahedrille | en forma de paralelepípedo , | Octaedrilo oblato | Bipirámide cuadrada isósceles | , | |
J 13 A 14 W 15 G 8 t 0,1 δ 4 | nc [4,3,4] | Cubille truncado | Pirámide cuadrada isósceles | Pyramidille | Pirámide cuadrada isósceles | , | |
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 | nc [4,3,4] | 2-RCO-trille | Cuña | Octaedrillo de cuarto achatado | irr. Bipirámide triangular | , , | |
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 | bc [[4,3,4]] | Octaedrillo truncado | Disfenoides tetragonal | Tetraedrilo oblato | Disfenoides tetragonal | ||
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 | nc [4,3,4] | n-tCO-trille | Reflejado esfenoides | Pirámide triangular | Reflejado esfenoides | , , | |
J 18 A 19 W 19 G 20 t 0,1,3 δ 4 | nc [4,3,4] | 1-RCO-trille | Pirámide trapezoidal | Pirámide de cuarto cuadrado | Irr. pirámide | , , , | |
J 19 A 22 W 18 G 27 t 0,1,2,3 δ 4 | bc [[4,3,4]] | b-tCO-trille | Disfenoide fílico | Octava piramide | Disfenoide fílico | , | |
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 hδ 4 | fc [4,3 1,1 ] | Tetractaedrila o | Cuboctaedro , | Dodecaedrilla o | Dodecaedro rómbico , | , | |
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 | fc [4,3 1,1 ] | tetraoctaedrila truncada o | Pirámide rectangular | Medio octaedrillo achatado o | pirámide rómbica | , , | |
J 23 A 16 W 11 G 5 h 3 δ 4 | fc [4,3 1,1 ] | 3-RCO-trille o | Pirámide triangular truncada | Cuarto de cubille | irr. bipirámide triangular | ||
J 24 A 20 W 16 G 21 h 2,3 δ 4 | fc [4,3 1,1 ] | f-tCO-trille o | Esfenoides reflejado | Media pirámide | Esfenoides reflejado | ||
J 25,33 A 13 W 10 G 6 qδ 4 | d [[3 [4] ]] | Tetraedrilo truncado o | Prisma triangular isósceles | Cubille oblato | Trapezoedro trigonal |
Simetría
Estos cuatro grupos de simetría están etiquetados como:
Etiqueta | Descripción | símbolo internacional del grupo espacial | Notación geométrica [2] | Notación Coxeter | Notación fibrifold |
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antes de Cristo | simetría bicúbica o simetría cúbica extendida | (221) Tengo 3 m | I43 | [[4,3,4]] | 8 °: 2 |
Carolina del Norte | simetría cúbica normal | (229) Pm 3 m | P43 | [4,3,4] | 4 - : 2 |
fc | simetría semicúbica | (225) Fm 3 m | F43 | [4,3 1,1 ] = [4,3,4,1 + ] | 2 - : 2 |
D | simetría de diamante o simetría de cuarto cúbico extendida | (227) Fd 3 m | F d 4 n 3 | [[3 [4] ]] = [[1 + , 4,3,4,1 + ]] | 2 + : 2 |
Referencias
- ^ Para referencias cruzadas de sólidos arquitectónicos, se dan con índices de lista de A ndreini (1-22), W illiams (1-2,9-19), J ohnson (11-19, 21-25, 31-34 , 41-49, 51-52, 61-65) y G rünbaum (1-28). Los nombres de Coxeters se basan en δ 4 como un panal de abejas cúbico , hδ 4 como un panal de abejas cúbico alternado y qδ 4 como un panal de un cuarto de abeja cúbico .
- ^ Hestenes, David; Holt, Jeremy (27 de febrero de 2007). "Grupos espaciales cristalográficos en álgebra geométrica" (PDF) . Revista de Física Matemática . AIP Publishing LLC. 48 (2): 023514. doi : 10.1063 / 1.2426416 . ISSN 1089-7658 .
- Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), p.54-55. 12 envases de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica
Otras lecturas
- Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "21. Denominación de poliedros y mosaicos de Arquímedes y Catalán". Las simetrías de las cosas . AK Peters, Ltd. págs. 292-298. ISBN 978-1-56881-220-5.
- Inchbald, Guy (julio de 1997). "Los duales del panal de Arquímedes". La Gaceta Matemática . Leicester: La Asociación Matemática. 81 (491): 213–219. doi : 10.2307 / 3619198 . JSTOR 3619198 . [1]
- Branko Grünbaum , (1994) Azulejos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4, 49 - 56.
- Norman Johnson (1991) Politopos uniformes , manuscrito
- A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF [2]
- George Olshevsky, (2006) Tetracumbas panoploides uniformes , PDF manuscrito [3]
- Pearce, Peter (1980). La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño . La prensa del MIT. págs. 41–47. ISBN 9780262660457.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [4]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] Ver p318 [5]