Geometría aritmética
En matemáticas, la geometría aritmética es aproximadamente la aplicación de técnicas desde la geometría algebraica a problemas de teoría de números . [1] La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica , el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas . [2] [3]
En términos más abstractos, la geometría aritmética se puede definir como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de números enteros . [4]
Los objetos clásicos de interés en geometría aritmética son puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales sobre campos numéricos , campos finitos , campos p-ádicos o campos funcionales , es decir, campos que no son algebraicamente cerrados excluyendo los números reales . Los puntos racionales se pueden caracterizar directamente por funciones de altura que miden su complejidad aritmética. [5]
La estructura de las variedades algebraicas definidas sobre campos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. En campos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a variedades algebraicas. [6] La teoría p-ádica de Hodge proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades sobre los números complejos se extienden a las de los campos p-ádicos. [7]
A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero a ecuaciones polinomiales homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero. [8]
En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber , introdujo la teoría de los divisores e hizo muchas otras conexiones entre la teoría de números y el álgebra . Luego conjeturó su " liebster Jugendtraum " ("el más querido sueño de la juventud"), una generalización que luego fue presentada por Hilbert en una forma modificada como su duodécimo problema , que describe el objetivo de que la teoría de números opere solo con anillos que son cocientes. de anillos polinomiales sobre los números enteros. [9]
