En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , las lenguas de Arnold (nombradas en honor a Vladimir Arnold ) [1] [2] son un fenómeno pictórico que ocurre al visualizar cómo el número de rotación de un sistema dinámico, u otra propiedad invariante relacionada del mismo, cambia según dos o más de sus parámetros. Se ha observado que las regiones de número de rotación constante, para algunos sistemas dinámicos, forman formas geométricas que se asemejan a lenguas, en cuyo caso se denominan lenguas de Arnold. [3]
Las lenguas de Arnold se observan en una gran variedad de fenómenos naturales que involucran cantidades oscilantes, como la concentración de enzimas y sustratos en procesos biológicos [4] y ondas eléctricas cardíacas . A veces, la frecuencia de oscilación depende de, o está restringida (es decir, bloqueada en fase o en modo , en algunos contextos) en función de alguna cantidad, y a menudo es interesante estudiar esta relación. Por ejemplo, la aparición de un tumor desencadena en la zona una serie de oscilaciones de sustancias (principalmente proteínas) que interactúan entre sí; Las simulaciones muestran que estas interacciones hacen que aparezcan las lenguas de Arnold, es decir, la frecuencia de algunas oscilaciones restringe las otras, y esto puede usarse para controlar el crecimiento tumoral. [3]
Otros ejemplos en los que se pueden encontrar lenguas de Arnold incluyen la falta de armonía de los instrumentos musicales, la resonancia orbital y el bloqueo de mareas de las lunas en órbita, el bloqueo de modo en la fibra óptica y los lazos de bloqueo de fase y otros osciladores electrónicos , así como en los ritmos cardíacos , arritmias cardíacas y ciclo celular . [5]
Uno de los modelos físicos más simples que exhibe bloqueo de modo consiste en dos discos giratorios conectados por un resorte débil. Se permite que un disco gire libremente y el otro es impulsado por un motor. El bloqueo de modo ocurre cuando el disco que gira libremente gira a una frecuencia que es un múltiplo racional de la del rotador accionado.
El modelo matemático más simple que exhibe bloqueo de modo es el mapa circular, que intenta capturar el movimiento de los discos giratorios en intervalos de tiempo discretos.
Mapa circular estándar
Las lenguas de Arnold aparecen con mayor frecuencia cuando se estudia la interacción entre osciladores , particularmente en el caso en que un oscilador impulsa a otro. Es decir, un oscilador depende del otro pero no al revés, por lo que no se influyen mutuamente como ocurre en los modelos de Kuramoto , por ejemplo. Este es un caso particular de osciladores accionados , con una fuerza motriz que tiene un comportamiento periódico. Como ejemplo práctico, las células del corazón (el oscilador externo) producen señales eléctricas periódicas para estimular las contracciones del corazón (el oscilador impulsado); aquí, podría ser útil determinar la relación entre la frecuencia de los osciladores, posiblemente para diseñar mejores marcapasos artificiales . La familia de mapas circulares sirve como modelo matemático útil para este fenómeno biológico, así como para muchos otros. [6]
La familia de mapas circulares son funciones (o endomorfismos ) del círculo en sí mismo. Es matemáticamente más simple considerar un punto en el círculo como un puntoen la línea real que debe interpretarse módulo , que representa el ángulo en el que se encuentra el punto en el círculo. Cuando el módulo se toma con un valor diferente a, el resultado sigue representando un ángulo, pero debe normalizarse para que todo el rango puede ser representado. Teniendo esto en cuenta, la familia de mapas circulares viene dada por: [7]
dónde es la frecuencia "natural" del oscilador y es una función periódica que produce la influencia causada por el oscilador externo. Tenga en cuenta que si la partícula simplemente camina alrededor del círculo en unidades a la vez; en particular, siEs irracional el mapa se reduce a una rotación irracional .
El mapa circular particular estudiado originalmente por Arnold, [8] y que continúa resultando útil incluso hoy en día, es:
dónde se llama fuerza de acoplamiento , y debe ser interpretado modulo . Este mapa muestra un comportamiento muy diverso en función de los parámetros y ; si arreglamos y variar , se obtiene el diagrama de bifurcaciones en torno a este párrafo, donde podemos observar órbitas periódicas , bifurcaciones de duplicación de períodos así como posibles comportamientos caóticos .
Derivando el mapa circular
Otra forma de ver el mapa circular es la siguiente. Considere una función que disminuye linealmente con la pendiente . Una vez que llega a cero, su valor se restablece a un cierto valor oscilante, descrito por una función. Ahora estamos interesados en la secuencia de tiempos. en el que y (t) llega a cero.
Este modelo nos dice que en el momento es valido que . Desde este punto, luego disminuirá linealmente hasta que , donde la función es cero, por lo que produce:
y eligiendo y obtenemos el mapa circular comentado anteriormente:
Glass, L. (2001) sostiene que este modelo simple es aplicable a algunos sistemas biológicos, como la regulación de la concentración de sustancias en las células o la sangre, con arriba que representa la concentración de una determinada sustancia.
En este modelo, un bloqueo de fase de significaría que se restablece exactamente veces cada períodos de la sinusoidal . El número de rotación, a su vez, sería el cociente. [7]
Propiedades
Considere la familia general de endomorfismos circulares:
donde, para el mapa circular estándar, tenemos que . A veces también será conveniente representar el mapa circular en términos de un mapeo.:
Ahora procedemos a enumerar algunas propiedades interesantes de estos endomorfismos circulares.
P1. está aumentando monótonamente para , entonces para estos valores de el itera solo avanza en el círculo, nunca hacia atrás. Para ver esto, tenga en cuenta que la derivada de es:
que es positivo siempre que .
P2. Al expandir la relación de recurrencia, se obtiene una fórmula para:
P3. Suponer que, por lo que son puntos fijos periódicos de período . Dado que el seno oscila a una frecuencia de 1 Hz, el número de oscilaciones del seno por ciclo de estarán , caracterizando así un bloqueo de fase de. [7]
P4. Para cualquier, es cierto que , lo que a su vez significa que . Debido a esto, para muchos propósitos, no importa si la iteración se toman módulo o no.
P5 (simetría de traslación). [9] [7] Supongamos que para un hay un bloqueo de fase en el sistema. Entonces para con entero , habría un bloqueo de fase. Esto también significa que si es una órbita periódica para el parámetro , entonces también es una órbita periódica para cualquier .
P6. Para habrá bloqueo de fase siempre que es un racional. Además, deja, entonces el bloqueo de fase es .
y módulo de igualdad se mantendrá solo cuando es un número entero, y el primero que satisface esto es . Como consecuencia:
significando un bloqueo de fase.
Por irracional (lo que lleva a una rotación irracional ), sería necesario tener para enteros y , pero entonces y es racional, lo que contradice la hipótesis inicial.Bloqueo de modo
Para valores pequeños a intermedios de K (es decir, en el rango de K = 0 a aproximadamente K = 1) y ciertos valores de Ω, el mapa exhibe un fenómeno llamado bloqueo de modo o bloqueo de fase . En una región de fase bloqueada, los valores θ n avanzan esencialmente como un múltiplo racional de n , aunque pueden hacerlo de forma caótica a pequeña escala.
El comportamiento limitante en las regiones de modo bloqueado viene dado por el número de rotación .
- [10]
que también se conoce a veces como el número de bobinado del mapa .
Las regiones de bloqueo de fase, o lenguas de Arnold, se ilustran en amarillo en la figura de la derecha. Cada una de estas regiones en forma de V aterriza en un valor racional Ω = pag/qen el límite de K → 0. Los valores de ( K , Ω) en una de estas regiones darán como resultado un movimiento tal que el número de rotación ω = pag/q. Por ejemplo, todos los valores de ( K , Ω) en la gran región en forma de V en la parte inferior central de la figura corresponden a un número de rotación de ω = 1/2. Una razón por la que se utiliza el término "bloqueo" es que los valores individuales θ n pueden verse perturbados por perturbaciones aleatorias bastante grandes (hasta el ancho de la lengüeta, para un valor dado de K ), sin perturbar el número de rotación límite. Es decir, la secuencia permanece "fijada" a la señal, a pesar de la adición de ruido significativo a la serie θ n . Esta capacidad de "bloquearse" en presencia de ruido es fundamental para la utilidad del circuito electrónico de bucle de bloqueo de fase. [ cita requerida ]
Hay una región de modo bloqueado para cada número racional pag/q. A veces se dice que el mapa circular mapea los racionales, un conjunto de medidas cero en K = 0, a un conjunto de medidas distintas de cero para K ≠ 0. Las lenguas más grandes, ordenadas por tamaño, se encuentran en las fracciones de Farey . Al fijar K y tomar una sección transversal a través de esta imagen, de modo que ω se grafica en función de Ω, se obtiene la "escalera del diablo", una forma que es genéricamente similar a la función de Cantor . Se puede demostrar que para K <1 , el mapa circular es un difeomorfismo, solo existe una solución estable. Sin embargo, como K> 1, esto ya no es válido y se pueden encontrar regiones de dos regiones de bloqueo superpuestas. Para el mapa circular se puede mostrar que en esta región, no se pueden superponer más de dos regiones de bloqueo de modo estable, pero se desconoce si hay algún límite para el número de lenguas Arnold superpuestas para sistemas sincronizados generales. [ cita requerida ]
El mapa circular también exhibe rutas subarmónicas al caos, es decir, duplicación de períodos de la forma 3, 6, 12, 24, ....
Mapa estándar de Chirikov
El mapa estándar de Chirikov está relacionado con el mapa circular y tiene relaciones de recurrencia similares, que pueden escribirse como
con ambas iteraciones tomadas módulo 1. En esencia, el mapa estándar introduce un impulso p n que puede variar dinámicamente, en lugar de ser fijo forzado, como ocurre en el mapa circular. El mapa estándar se estudia en física mediante el rotor de patada hamiltoniano .
Aplicaciones
Las lenguas de Arnold se han aplicado al estudio de
- Ritmos cardíacos : véase Glass, L. et al. (1983) y McGuinness, M. et al. (2004)
- Sincronización de osciladores de diodo tunelizador resonante [11]
Galería
Ver también
- Palabra sturmian
Notas
- ↑ Arnol'd, VI (1961). "Pequeños denominadores. I. Mapeo del círculo sobre sí mismo" . Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya . 25 (1): 21–86. La sección 12 de la página 78 tiene una figura que muestra las lenguas de Arnold.
- ^ Traducción al inglés del artículo de Arnold: S. Adjan; VI Arnol'd; SP Demuškin; Ju. S. Gurevič; SS Kemhadze; NI Klimov; Ju. V. Linnik; AV Malyšev; PS Novikov; DA Suprunenko; VA Tartakovskiĭ; V. Tašbaev. Once artículos sobre teoría de números, álgebra y funciones de una variable compleja . 46 . Serie de traducciones de la American Mathematical Society 2.
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- ^ Lo estudió usando coseno en lugar de seno; véase la página 78 de Arnol'd, VI (1961) .
- ^ Guevara, MR; Vidrio, L. (1982). "Bloqueo de fase, bifurcaciones de duplicación de período y caos en un modelo matemático de un oscilador impulsado periódicamente: una teoría para el arrastre de osciladores biológicos y la generación de arritmias cardíacas". Revista de Biología Matemática . 14 (1): 1–23. doi : 10.1007 / BF02154750 . PMID 7077182 . S2CID 2273911 .
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Referencias
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- McGuinness, M .; Hong, Y .; Galletly, D .; Larsen, P. (2004). "Lenguas de Arnold en sistemas cardiorrespiratorios humanos". Caos . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14 .... 1M . doi : 10.1063 / 1.1620990 . PMID 15003038 .
enlaces externos
- Mapa circular con subprograma Java interactivo