En el área matemática de la teoría de grupos , grupos Artin , también conocidos como grupos Artin-tetas o grupo de trenzas generalizadas , son una familia de discretos infinitos grupos definidos por simples presentaciones . Están estrechamente relacionados con los grupos Coxeter . Ejemplos de ello son los grupos libres , grupos abelianos libres , grupo de trenzas , y en ángulo recto-grupos Artin-tetas, entre otros.
Los grupos llevan el nombre de Emil Artin , debido a sus primeros trabajos sobre grupos de trenzas en las décadas de 1920 a 1940, [1] y Jacques Tits, quien desarrolló la teoría de una clase más general de grupos en la década de 1960. [2]
Definición
Una presentación de Artin-Tits es una presentación grupal dónde es un conjunto (generalmente finito) de generadores y es un conjunto de relaciones Artin-Tits, es decir, relaciones de la forma para distinto en , donde ambos lados tienen longitudes iguales, y existe como máximo una relación para cada par de generadores distintos . Un grupo de Artin-Tits es un grupo que admite una presentación de Artin-Tits. Asimismo, un monoide Artin-Tits es un monoide que, como monoide, admite una presentación Artin-Tits.
Alternativamente, un grupo de Artin-Tits se puede especificar mediante el conjunto de generadores y, por cada en , el numero natural esa es la longitud de las palabras y tal que es la relación que conecta y , Si alguna. Por convención, uno pone cuando no hay relacion . Formalmente, si definimos para denotar un producto alterno de y de longitud , empezando con - así que eso , , etc. - las relaciones Artin-Tits toman la forma
Los enteros se puede organizar en una matriz simétrica , conocida como la matriz de Coxeter del grupo.
Si es una presentación de Artin-Tits de un grupo de Artin-Tits , el cociente de obtenido sumando la relación para cada de es un grupo Coxeter . Por el contrario, si es un grupo de Coxeter presentado por las reflexiones y las relaciones se eliminan, la extensión así obtenida es un grupo Artin-Tits. Por ejemplo, el grupo Coxeter asociado con el-strand braid group es el grupo simétrico de todas las permutaciones de .
Ejemplos de
- es el grupo libre basado en ; aquí para todos .
- es el grupo abeliano libre basado en ; aquí para todos .
- ¿Está el grupo de trenzas en hebras aquí por , y por .
Propiedades generales
Los monoides Artin-Tits son elegibles para los métodos Garside basados en la investigación de sus relaciones de divisibilidad y se entienden bien:
- Los monoides de Artin-Tits son cancelantes y admiten los máximos divisores comunes y los mínimos comunes condicionalmente múltiplos (un mínimo común múltiplo existe siempre que lo hace un común múltiplo).
- Si es un monoide de Artin-Tits, y si es el grupo Coxeter asociado, hay una sección (teórica de conjuntos) de dentro , y cada elemento de admite una descomposición distinguida como una secuencia de elementos en la imagen de ("forma normal codiciosa").
Se conocen muy pocos resultados para los grupos de Artin-Tits generales. En particular, las siguientes preguntas básicas permanecen abiertas en el caso general:
- - resolver los problemas de palabras y conjugaciones , que se supone que son decidibles,
- - determinando la torsión - que se conjetura que es trivial,
- - determinar el centro, que se supone trivial o monogénico en el caso de que el grupo no sea un producto directo ("caso irreductible"),
- - determinar la cohomología - en particular resolver el conjetura, es decir, encontrar un complejo acíclico cuyo grupo fundamental es el grupo considerado.
Los resultados parciales que involucran a subfamilias particulares se recopilan a continuación. Entre los pocos resultados generales conocidos, se pueden mencionar:
- Los grupos de Artin-Tits son infinitos contables.
- En un grupo de Artin-Tits , la única relación que conecta los cuadrados de los elementos de es Si es en (John Crisp y Luis Paris [3] ).
- Para cada presentación de Artin-Tits , el monoide de Artin-Tits presentado por integra en el grupo Artin-Tits presentado por (París [4] ).
- Cada monoide Artin-Tits (finamente generado) admite una familia Garside finita (Matthew Dyer y Christophe Hohlweg [5] ). Como consecuencia, la existencia de múltiples derechos comunes en los monoides Artin-Tits es decidible y la reducción de las multifracciones es eficaz.
Clases particulares de grupos Artin-Tits
Se pueden definir varias clases importantes de grupos Artin en términos de las propiedades de la matriz de Coxeter.
Grupos de Artin-Tits de tipo esférico
- Se dice que un grupo Artin-Tits es de tipo esférico si el grupo Coxeter asociado es finito - la terminología alternativa "grupo de Artin-Tits de tipo finito" debe evitarse, debido a su ambigüedad: un "grupo de tipo finito" es sólo uno que admite un conjunto generador finito. Recuerde que se conoce una clasificación completa, los 'tipos irreductibles' se etiquetan como la serie infinita, , , y seis grupos excepcionales , , , , , y .
- En el caso de un grupo Artin-Tits esférico, el grupo es un grupo de fracciones para el monoide, lo que facilita mucho el estudio. Todos los problemas antes mencionados se resuelven en positivo para los grupos esféricos Artin-Tits: los problemas de palabra y conjugación son decidibles, su torsión es trivial, el centro es monogénico en el caso irreductible y la cohomología está determinada ( Pierre Deligne , por geometría métodos, [6] Egbert Brieskorn y Kyoji Saito , por métodos combinatorios [7] ).
- Un grupo Artin-Tits puro de tipo esférico se puede realizar como el grupo fundamental del complemento de una disposición finita de hiperplano en.
- Los grupos Artin-Tits de tipo esférico son grupos biautomáticos (Ruth Charney [8] ).
- En terminología moderna, un grupo de Artin-Tits es un grupo de Garside , lo que significa que es un grupo de fracciones para el monoide asociado y existe para cada elemento de una forma normal única que consiste en una secuencia finita de (copias de) elementos de y sus inversos ("forma normal codiciosa simétrica")
Grupos de Artin en ángulo recto
- Se dice que un grupo de Artin-Tits tiene un ángulo recto si todos los coeficientes de la matriz de Coxeter son o , es decir, todas las relaciones son relaciones de conmutación . Los nombres (libres) del grupo parcialmente conmutativa , grupo de grafos , grupo traza , grupo semilibre o incluso de grupos localmente libre también son comunes.
- Para esta clase de grupos Artin-Tits, se usa comúnmente un esquema de etiquetado diferente. Cualquier gráfico en vértices etiquetados define una matriz , para cual si los vértices y están conectados por un borde en , y de lo contrario.
- La clase de grupos Artin-Tits en ángulo recto incluye los grupos libres de rango finito, correspondientes a un gráfico sin aristas, y los grupos abelianos libres generados finitamente , correspondientes a un gráfico completo . Cada grupo Artin en ángulo recto de rango r puede construirse como una extensión HNN de un grupo Artin en ángulo recto de rango, con el producto gratuito y el producto directo como casos extremos. Una generalización de esta construcción se denomina producto gráfico de grupos . Un grupo de Artin en ángulo recto es un caso especial de este producto, donde cada vértice / operando del producto-gráfico es un grupo libre de rango uno (el grupo cíclico infinito ).
- Los problemas de palabras y conjugaciones de un grupo de Artin-Tits en ángulo recto son decidibles, el primero en tiempo lineal, el grupo está libre de torsión y hay un finito celular explícito. (John Crisp, Eddy Godelle y Bert Wiest [9] ).
- Cada grupo de Artin-Tits en ángulo recto actúa libre y cocompactamente en un complejo de cubo CAT (0) de dimensión finita , su "complejo de Salvetti". Como aplicación, se pueden usar grupos de Artin en ángulo recto y sus complejos de Salvetti para construir grupos con propiedades de finitud determinadas (Mladen Bestvina y Noel Brady [10] ) ver también (Ian Leary [11] ).
Grupos de Artin-Tits de tipo grande
- Se dice que un grupo de Artin-Tits (y un grupo de Coxeter) es de tipo grande si para todos los generadores ; se dice que es de tipo extragrande si para todos los generadores .
- Los grupos de Artin-Tits de tipo extragrande son elegibles para la teoría de cancelación pequeña. Como aplicación, los grupos de Artin-Tits de tipo extragrande no tienen torsión y tienen problemas de conjugación solucionables ( Kenneth Appel y Paul Schupp [12] ).
- Los grupos Artin-Tits de tipo extragrande son biautomáticos (David Peifer [13] ).
- Los grupos Artin de tipo grande son shortlex automáticos con geodésicas regulares (Derek Holt y Sarah Rees [14] ).
Otros tipos
Se han identificado e investigado muchas otras familias de grupos de Artin-Tits. Aquí mencionamos dos de ellos.
- Un grupo de Artin-Tits se dice que es de tipo FC ("complejo de banderas") si, para cada subconjunto de tal que para todos en , el grupo es de tipo esférico. Dichos grupos actúan de manera cocompacta sobre un complejo cúbico CAT (0) y, como consecuencia, se puede encontrar una forma normal racional para sus elementos y deducir una solución al problema verbal (Joe Altobelli y Charney [15] ). Una forma normal alternativa es proporcionada por la reducción de multifracción, que da una expresión única por una multifracción irreducible extendiendo directamente la expresión por una fracción irreducible en el caso esférico (Dehornoy [16] ).
- Se dice que un grupo de Artin-Tits es de tipo afín si el grupo de Coxeter asociado es afín . Corresponden a los diagramas de Dynkin extendidos de las cuatro familias infinitas por , , por , y por , y de los cinco tipos esporádicos , , , , et . Los grupos afines Artin-Tits son de tipo euclidiano : el grupo Coxeter asociado actúa geométricamente sobre un espacio euclidiano. Como consecuencia, su centro es trivial y su problema verbal es decidible (Jon McCammond y Robert Sulway [17] ). En 2019, una prueba de laSe anunció una conjetura para todos los grupos afines de Artin-Tits (Mario Salvetti y Giovanni Paolini [18] ).
Ver también
- Monoide parcialmente conmutativo libre
- Grupo artiniano (una noción no relacionada)
- Criptografía no conmutativa
- Grupo abeliano elemental
Referencias
- ^ Artin, Emil (1947). "Teoría de las trenzas". Annals of Mathematics . 48 (1): 101-126. doi : 10.2307 / 1969218 . JSTOR 1969218 . S2CID 30514042 .
- ^ Tits, Jacques (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Journal of Algebra , 4 : 96-116, doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90053-6 , MR 0206117
- ^ Crisp, John; Paris, Luis (2001), "La solución a una conjetura de Tetas en el subgrupo generado por los cuadrados de los generadores de un grupo Artin", Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math / 0003133 , Bibcode : 2001InMat.145 ... 19C , doi : 10.1007 / s002220100138 , MR 1839284
- ^ París, Luis (2002), "Artin monoids inyecta en sus grupos", Commentarii Mathematici Helvetici , 77 (3): 609–637, doi : 10.1007 / s00014-002-8353-z , MR 1933791
- ^ Dyer, Matthew; Hohlweg, Christophe (2016), "Raíces pequeñas, elementos bajos y el orden débil en grupos Coxeter", Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016 / j.aim.2016.06.022 , MR 1839284
- ^ Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007 / BF01406236 , MR 0422673
- ^ Brieskorn, Egbert ; Saito, Kyoji (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245-271, Bibcode : 1972InMat..17..245B , doi : 10.1007 / BF01406235 , MR 0323910
- ^ Charney, Ruth (1992), "Los grupos Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi : 10.1007 / BF01444642 , MR 1157320
- ^ Crisp, John; Godelle, Eddy; Wiest, Bert (2009), "El problema de conjugación en subgrupos de grupos Artin en ángulo recto", Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi : 10.1112 / jtopol / jtp018 , MR 2546582
- ^ Bestvina, Mladen ; Brady, Noel (1997), "Teoría Morse y propiedades de finitud de los grupos", Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007 / s002220050168 , MR 1465330
- ^ Leary, Ian (2018), "Innumerablemente muchos grupos de tipo FP", Proceedings of the London Mathematical Society , 117 (2): 246-276, doi : 10.1112 / plms.12135 , MR 3851323
- ^ Appel, Kenneth I .; Schupp, Paul E. (1983), "Artin Groups and Infinite Coxeter Groups", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 201–220, Bibcode : 1983InMat..72..201A , doi : 10.1007 / BF01389320 , MR 0700768
- ^ Peifer, David (1996), "Los grupos Artin de tipo extragrande son biautomáticos", Journal of Pure and Applied Algebra , 110 (1): 15–56, doi : 10.1016 / 0022-4049 (95) 00094-1 , MR 1390670
- ^ Holt, Derek; Rees, Sarah (2012). "Los grupos Artin de tipo grande son shortlex automáticos con geodésicas regulares". Actas de la London Mathematical Society . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . doi : 10.1112 / plms / pdr035 . Señor 2900234 .
- ^ Altobelli, Joe; Charney, Ruth (2000), "Una forma geométrica racional para grupos Artin de tipo FC", Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi : 10.1023 / A: 1005216814166 , MR 1755729
- ^ Dehornoy, Patrick (2017), "Reducción multifracción I: El caso de 3 minerales y los grupos Artin-Tits de tipo FC", Journal of Combinatorial Algebra , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi : 10.4171 / JCA / 1-2-3 , MR 3634782
- ^ McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Artin groups of Euclidean type", Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, Bibcode : 2017InMat.210..231M , doi : 10.1007 / s00222-017-0728-2 , MR 3698343
- ^ Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2019), Prueba de laconjetura para grupos afines de Artin , arXiv : 1907.11795
Otras lecturas
- Charney, Ruth (2007), "Una introducción a los grupos de Artin en ángulo recto", Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math / 0610668 , doi : 10.1007 / s10711-007-9148-6 , MR 2322545
- Godelle, Eddy; Paris, Luis (2012), Preguntas básicas sobre grupos Artin-Tits , Serie CRM, 14 , Ed. Norm., Pisa, págs. 299–311, doi : 10.1007 / 978-88-7642-431-1_13 , ISBN 978-88-7642-430-4, MR 3203644
- McCammond, Jon (2017), "La misteriosa geometría de los grupos de Artin", Winter Braids Lecture Notes , 4 (Winter Braids VII (Caen, 2017)): 1–30, doi : 10.5802 / wbln.17 , MR 3922033
- Flores, Ramón; Kahrobaei, Delaram; Koberda, Thomas (2019). "Problemas algorítmicos en grupos Artin en ángulo recto: complejidad y aplicaciones". Revista de álgebra . 519 : 111-129. arXiv : 1802.04870 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2018.10.023 . Señor 3874519 .