En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, un PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son los números naturales n identificados con los conjuntos finitos.y cuyo producto tensorial se da en objetos mediante la suma de números. [1] Debido a que es "simétrico", para cada n , el grupo simétrico de n letras se da como un subgrupo del grupo de automorfismos de n . El nombre PROP es una abreviatura de "Categoría de producto y permutación ".
La noción fue introducida por Adams y MacLane; la versión topológica de la misma fue dada más tarde por Boardman y Vogt. [2] Después de ellos, JP May introdujo la noción de " operad ", un tipo particular de PROP.
Existen las siguientes inclusiones de subcategorías completas: [3]
donde la primera categoría es la categoría de operados (simétricos).
Ejemplos y variantes
Una clase elemental importante de PROP son los conjuntosde todas las matrices (independientemente del número de filas y columnas) sobre algún anillo fijo. Más concretamente, estas matrices son los morfismos del PROP; los objetos se pueden tomar como(conjuntos de vectores) o simplemente como los números naturales simples (ya que los objetos no tienen que ser conjuntos con alguna estructura). En este ejemplo:
- Composición de morfismos es la multiplicación de matrices ordinaria .
- El morfismo identitario de un objeto (o ) es la matriz de identidad con el lado.
- El producto actúa sobre objetos como la suma ( o ) y en morfismos como una operación de construcción de matrices diagonales en bloque :.
- La compatibilidad de la composición y el producto se reduce a
- .
- Como caso límite, las matrices sin filas ( matrices) o sin columnas (matrices) están permitidos, y con respecto a la multiplicación cuentan como matrices cero. La la identidad es la matriz.
- La compatibilidad de la composición y el producto se reduce a
- Las permutaciones en PROP son las matrices de permutación . Así, la acción de la izquierda de una permutación en una matriz (morfismo de esta PROP) es permutar las filas, mientras que la acción de la derecha es permutar las columnas.
También hay PROPs de matrices donde el producto es el producto de Kronecker , pero en esa clase de PROP las matrices deben ser todas de la forma(Los lados son todos los poderes de una base común ); estas son las contrapartes coordinadas de categorías monoidales simétricas apropiadas de espacios vectoriales bajo el producto tensorial.
Más ejemplos de PROP:
- la categoría discreta de números naturales,
- la categoría FinSet de números naturales y funciones entre ellos,
- la categoría Bij de números naturales y biyecciones,
- la categoría Inj de números naturales e inyecciones.
Si se elimina el requisito de "simétrico", se obtiene la noción de categoría PRO . Si "simétrico" se reemplaza por b raided , entonces se obtiene la noción de categoría PROB .
- la categoría Bij Trenza de números naturales, equipada con el grupo trenzado B n como los automorfismos de cada n (y ningún otro morfismo).
es un PROB pero no un PROP.
- la categoría simplex aumentada de números naturales y funciones de preservación del orden .
es un ejemplo de PRO que ni siquiera es PROB.
Álgebras de un PRO
Un álgebra de un PRO en una categoría monoidal es un funtor monoidal estricto de a . Cada PRO y categoria dar lugar a una categoría de álgebras cuyos objetos son las álgebras de en y cuyos morfismos son las transformaciones naturales entre ellos.
Por ejemplo:
- un álgebra de es solo un objeto de ,
- un álgebra de FinSet es un objeto monoide conmutativo de,
- un álgebra de es un objeto monoide en.
Más precisamente, lo que queremos decir aquí con "las álgebras de en son los objetos monoide en "por ejemplo, es que la categoría de álgebras de en es equivalente a la categoría de monoides en.
Ver también
Referencias
- ^ MacLane , cap. V, párrafo 24.
- ^ Boardman, JM; Vogt, RM Homotopy-everything H -spaces. Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 74 (1968), núm. 6, 1117–1122.
- ^ Markl, Martin (2006). "Operads y PROPs". Manual de álgebra . 5 (1): 87–140. doi : 10.1016 / S1570-7954 (07) 05002-4 . ISBN 9780444531018. S2CID 3239126 . pág. 45
- Saunders MacLane (1965). "Álgebra categórica" . Boletín de la American Mathematical Society . 71 : 40-106. doi : 10.1090 / S0002-9904-1965-11234-4 .
- Martin Markl, Steve Shnider , Jim Stasheff (2002). Operads en Álgebra, Topología y Física . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Tom Leinster (2004). Operads superiores, categorías superiores . Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : matemáticas / 0305049 . Bibcode : 2004hohc.book ..... L .