Los momentos multipolares axiales son una expansión en serie del potencial eléctrico de una distribución de carga localizada cerca del origen a lo largo de un eje cartesiano , denotado aquí como el eje z . Sin embargo, la expansión multipolo axial también se puede aplicar a cualquier potencial o campo que varíe inversamente con la distancia a la fuente, es decir, como. Para mayor claridad, primero ilustramos la expansión para una carga de un solo punto, luego generalizamos a una densidad de carga arbitrarialocalizado en el eje z .
Momentos multipolares axiales de una carga puntual
El potencial eléctrico de una carga puntual q ubicada en el eje z en (Fig.1) es igual a
Si el radio r del punto de observación es mayor que a , podemos factorizar y expandir la raíz cuadrada en potencias de usando polinomios de Legendre
donde los momentos multipolares axiales contener todo lo específico de una distribución de carga determinada; las otras partes del potencial eléctrico dependen sólo de las coordenadas del punto de observación P . Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial, el momento dipolar axialy el momento cuadripolar axial. Esto ilustra el teorema general de que el momento multipolar más bajo distinto de cero es independiente del origen del sistema de coordenadas , pero los momentos multipolares más altos no lo son (en general).
Por el contrario, si el radio r es menor que a , podemos factorizar y expandir los poderes de , una vez más usando polinomios de Legendre
donde los momentos multipolares axiales interiores contener todo lo específico de una distribución de carga determinada; las otras partes dependen sólo de las coordenadas del punto de observación P .
Momentos multipolares axiales generales
Para obtener los momentos multipolares axiales generales, reemplazamos la carga puntual de la sección anterior con un elemento de carga infinitesimal , dónde representa la densidad de carga en la posición en el eje z . Si el radio r del punto de observación P es mayor que el mayor para cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico puede escribirse
donde los momentos multipolares axiales están definidos
Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial (= carga total )
- ,
el momento dipolar axial, y el momento cuadripolar axial. Cada término sucesivo en la expansión varía inversamente con una mayor potencia de, por ejemplo, el potencial monopolo varía como , el potencial del dipolo varía a medida que , el potencial cuadripolar varía a medida que , etc. Así, a grandes distancias (), el potencial está bien aproximado por el término multipolar principal distinto de cero.
El momento multipolar axial distinto de cero más bajo es invariante bajo un desplazamiento b en el origen , pero los momentos más altos generalmente dependen de la elección del origen. Los momentos multipolares cambiados sería
Expandiendo el polinomio bajo la integral
conduce a la ecuación
Si los momentos inferiores son cero, entonces . La misma ecuación muestra que los momentos multipolares superiores al primer momento distinto de cero dependen de la elección del origen (en general).
Momentos axiales multipolares interiores
Por el contrario, si el radio r es menor que el menor para cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico puede escribirse
donde los momentos multipolares axiales interiores están definidos
Los casos especiales incluyen el momento monopolo axial interior ( la carga total)
- ,
el momento dipolar axial interior, etc. Cada término sucesivo en la expansión varía con un mayor poder de , por ejemplo, el potencial monopolo interior varía como , el potencial del dipolo varía a medida que , etc. A distancias cortas (), el potencial está bien aproximado por el término multipolar interior principal distinto de cero.