En matemáticas , el espacio ba de un álgebra de conjuntos es el espacio de Banach que consta de todas las medidas firmadas delimitadas y finitamente aditivas en. La norma se define como la variación , es decir, [1]
Si Σ es un sigma-álgebra , entonces el espacio se define como el subconjunto de consistente en medidas contables aditivas . [2] La notación ba es un mnemónico para aditivo acotado y ca es la abreviatura de aditivo contable .
Si X es un espacio topológico y Σ es el álgebra sigma de los conjuntos de Borel en X , entonces es el subespacio de que consiste en todos los regulares medidas de Borel en X . [3]
Propiedades
Los tres espacios están completos (son espacios de Banach ) con respecto a la misma norma definida por la variación total, y por lo tanto es un subconjunto cerrado de , y es un conjunto cerrado de Σ para el álgebra de Borel en X . El espacio de funciones simples enes denso en.
El espacio ba del conjunto de potencias de los números naturales , ba (2 N ), a menudo se denota simplemente comoy es isomorfo al espacio dual de la $ l $ ∞ espacio .
Dual de B (Σ)
Sea B (Σ) el espacio de funciones Σ-medibles acotadas, equipadas con la norma uniforme . Entonces ba (Σ) = B (Σ) * es el espacio dual continuo de B (Σ). Esto se debe a Hildebrandt [4] y Fichtenholtz & Kantorovich. [5] Este es un tipo de teorema de representación de Riesz que permite representar una medida como un funcional lineal en funciones medibles. En particular, este isomorfismo permite definir la integral con respecto a una medida finitamente aditiva (tenga en cuenta que la integral de Lebesgue habitual requiere una aditividad contable ). Esto se debe a Dunford & Schwartz, [6] y se usa a menudo para definir la integral con respecto a medidas vectoriales , [7] y especialmente medidas de radón con valores vectoriales .
La dualidad topológica ba (Σ) = B (Σ) * es fácil de ver. Existe una dualidad algebraica obvia entre el espacio vectorial de todas las medidas finitamente aditivas σ en Σ y el espacio vectorial de funciones simples (). Es fácil comprobar que la forma lineal inducida por σ es continua en la sup-norma si σ está acotada, y el resultado sigue, ya que una forma lineal en el subespacio denso de funciones simples se extiende a un elemento de B (Σ) * si es continuo en la sup-norma.
Doble de L ∞ ( μ )
Si Σ es un sigma-álgebra y μ es una medida positiva sigma-aditiva en Σ, entonces el espacio Lp L ∞ ( μ ) dotado de la norma suprema esencial es, por definición, el espacio cociente de B (Σ) por el subespacio cerrado de acotado μ- funciones nulas:
El espacio dual de Banach L ∞ ( μ ) * es, por tanto, isomorfo a
es decir, el espacio de medidas con signo finitamente aditivo en Σ que son absolutamente continuas con respecto a μ ( μ -ac para abreviar).
Cuando el espacio de medida es además sigma-finito, entonces L ∞ ( μ ) es a su vez dual a L 1 ( μ ), que por el teorema de Radon-Nikodym se identifica con el conjunto de todas las medidas μ -ac contablemente aditivas . En otras palabras, la inclusión en el bidual
es isomorfo a la inclusión del espacio de medidas acotadas μ -ac numerables aditivas dentro del espacio de todas las medidas acotadas μ -ac finitamente aditivas .
Referencias
- Dunford, N .; Schwartz, JT (1958). Operadores lineales, Parte I . Wiley-Interscience.
- ↑ Dunford y Schwartz , 1958 , IV.2.15.
- ↑ Dunford y Schwartz , 1958 , IV.2.16.
- ↑ Dunford y Schwartz , 1958 , IV.2.17.
- ^ Hildebrandt, TH (1934). "Sobre operaciones funcionales acotadas" . Transacciones de la American Mathematical Society . 36 (4): 868–875. doi : 10.2307 / 1989829 . JSTOR 1989829 .
- ^ Fichtenholz, G .; Kantorovich, LV (1934). "Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctions bornées" . Studia Mathematica . 5 : 69–98. doi : 10.4064 / sm-5-1-69-98 .
- ^ Dunford y Schwartz, 1958 .
- ^ Diestel, J .; Uhl, JJ (1977). Medidas vectoriales . Encuestas matemáticas. 15 . Sociedad Matemática Estadounidense. Capítulo I.
Otras lecturas
- Diestel, Joseph (1984). Secuencias y series en espacios de Banach . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC 9556781 .
- Yosida, K .; Hewitt, E. (1952). "Medidas finamente aditivas" . Transacciones de la American Mathematical Society . 72 (1): 46–66. doi : 10.2307 / 1990654 . JSTOR 1990654 .