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Las matemáticas en el arte: grabado en plancha de cobre de Alberto Durero Melencolia I , 1514. Las referencias matemáticas incluyen una brújula para la geometría , un cuadrado mágico y un romboedro truncado , mientras que la medición se indica mediante las escalas y el reloj de arena . [1]
Dibujo alámbrico [2] de un jarrón como un sólido de revolución [2] por Paolo Uccello . siglo 15

Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas formas. Las matemáticas en sí mismas han sido descritas como un arte motivado por la belleza . Las matemáticas se pueden discernir en artes como la música , la danza , la pintura , la arquitectura , la escultura y los textiles . Sin embargo, este artículo se centra en las matemáticas en las artes visuales.

Las matemáticas y el arte tienen una larga relación histórica. Los artistas han utilizado las matemáticas desde el siglo IV a. C., cuando el escultor griego Policleto escribió su Canon , prescribiendo proporciones que se conjeturaban basadas en la proporción 1: √ 2 para el desnudo masculino ideal. Se han hecho afirmaciones populares persistentes sobre el uso de la proporción áurea en el arte y la arquitectura antiguos, sin evidencia confiable. En el Renacimiento italiano , Luca Pacioli escribió el influyente tratado De divina proporione (1509), ilustrado con xilografías de Leonardo da Vinci., sobre el uso de la proporción áurea en el art. Otro pintor italiano, Piero della Francesca , desarrolló las ideas de Euclides sobre la perspectiva en tratados como De Prospectiva Pingendi y en sus pinturas. El grabador Alberto Durero hizo muchas referencias a las matemáticas en su obra Melancolía I . En los tiempos modernos, el artista gráfico M. C. Escher hizo un uso intensivo de la teselación y la geometría hiperbólica , con la ayuda del matemático HSM Coxeter , mientras que el movimiento De Stijl dirigido por Theo van Doesburg yPiet Mondrian abrazó explícitamente las formas geométricas. Las matemáticas tienen las artes textiles inspirados tales como el acolchado , tejido de punto , de punto de cruz , ganchillo , bordado , el tejido , turca y otra alfombra -haciendo, así como kilim . En el arte islámico , las simetrías son evidentes en formas tan variadas como el girih persa y el mosaico zellige marroquí , las pantallas de piedra perforada de Mughal jali y las bóvedas muqarnas generalizadas .

Las matemáticas han influido directamente en el arte con herramientas conceptuales como la perspectiva lineal , el análisis de la simetría y objetos matemáticos como los poliedros y la tira de Möbius . Magnus Wenninger crea coloridos poliedros estrellados , originalmente como modelos para la enseñanza. Conceptos matemáticos como la recursividad y la paradoja lógica se pueden ver en las pinturas de René Magritte y en los grabados de MC Escher. El arte por computadora a menudo hace uso de fractales, incluido el conjunto de Mandelbrot , y a veces explora otros objetos matemáticos comoautómatas celulares . De manera controvertida, el artista David Hockney ha argumentado que los artistas del Renacimiento en adelante hicieron uso de la cámara lúcida para dibujar representaciones precisas de escenas; el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera similar que Vermeer usó la cámara oscura en sus pinturas claramente observadas.

Otras relaciones incluyen el análisis algorítmico de obras de arte mediante espectroscopía de fluorescencia de rayos X , el hallazgo de que los batiks tradicionales de diferentes regiones de Java tienen dimensiones fractales distintas y estímulos para la investigación matemática, especialmente la teoría de la perspectiva de Filippo Brunelleschi , que finalmente llevó a Girard Desargues 's de la geometría proyectiva . Una visión persistente, basada en última instancia en la noción pitagórica de armonía en la música, sostiene que todo fue ordenado por Número, que Dios es el geómetro del mundo y que, por lo tanto, la geometría del mundo es sagrada .

Orígenes: desde la antigua Grecia hasta el Renacimiento [ editar ]

Más información: Cánones artísticos de proporciones corporales

Canon y simetría de Policleto [ editar ]

Copia romana en mármol de Doríforo , originalmente un bronce de Policleto
Más información: Polykleitos

Policleto el mayor (c. 450–420 a. C.) fue un escultor griego de la escuela de Argos y contemporáneo de Fidias . Sus obras y estatuas consistían principalmente en bronce y eran de deportistas. Según el filósofo y matemático Jenócrates , Policleto está catalogado como uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica por su trabajo sobre el Doríforo y la estatua de Hera en el Heraión de Argos . [3] Si bien sus esculturas pueden no ser tan famosas como las de Fidias, son muy admiradas. En su canon, un tratado que escribió diseñado para documentar las proporciones corporales "perfectas" del desnudo masculino, Policleto nos ofrece un enfoque matemático para esculpir el cuerpo humano. [3]

El Canon mismo se ha perdido, pero se conjetura que Policleto usó una secuencia de proporciones donde cada longitud es la de la diagonal de un cuadrado dibujado en su predecesor, 1: √ 2 (aproximadamente 1: 1.4142). [4]

La influencia del Canon de Policleto es inmensa en la escultura clásica griega , romana y renacentista , muchos escultores siguiendo la prescripción de Policleto. Si bien ninguna de las obras originales de Policleto sobrevive, las copias romanas demuestran su ideal de perfección física y precisión matemática. Algunos estudiosos sostienen que el pensamiento pitagórico influyó en el Canon de Policleto. [5] El Canon aplica los conceptos matemáticos básicos de la geometría griega, como la razón, la proporción y la simetría.(Del griego "proporciones armoniosas") y lo convierte en un sistema capaz de describir la forma humana a través de una serie de progresiones geométricas continuas . [4]

Perspectiva y proporción [ editar ]

Artículo principal: Perspectiva (gráfica)
El experimento de Brunelleschi con perspectiva lineal

En la época clásica, en lugar de hacer figuras distantes más pequeñas con perspectiva lineal , los pintores dimensionaron objetos y figuras de acuerdo con su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas usaron la perspectiva inversa para un énfasis especial. El matemático musulmán Alhazen (Ibn al-Haytham) describió una teoría de la óptica en su Libro de Óptica en 1021, pero nunca la aplicó al arte. [6] El Renacimiento vio un renacimiento de la cultura y las ideas clásicas griegas y romanas, entre ellas el estudio de las matemáticas para comprender la naturaleza y las artes.. Dos motivos principales llevaron a los artistas de finales de la Edad Media y el Renacimiento hacia las matemáticas. Primero, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional. En segundo lugar, tanto los filósofos como los artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y que todo el universo, incluidas las artes, se podía explicar en términos geométricos. [7]

Los rudimentos de la perspectiva llegaron con Giotto (1266/7 - 1337), quien intentó dibujar en perspectiva utilizando un método algebraico para determinar la ubicación de líneas distantes. En 1415, el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi y su amigo Leon Battista Alberti demostraron el método geométrico de aplicar la perspectiva en Florencia, utilizando triángulos similares formulados por Euclides, para encontrar la altura aparente de objetos distantes. [8] [9] Las pinturas en perspectiva del propio Brunelleschi se pierden, pero la pintura de Masaccio de la Santísima Trinidad muestra sus principios en acción. [6] [10] [11]

Paolo Uccello hizo un uso innovador de la perspectiva en La batalla de San Romano (c. 1435-1460).

El pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) estaba fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de La batalla de San Romano (c. 1435-1460): las lanzas rotas se encuentran convenientemente a lo largo de las líneas de perspectiva. [12] [13]

El pintor Piero della Francesca (c. 1415-1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento del Renacimiento italiano. Fue un experto matemático y geómetra , y escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva , incluidos De prospectiva pingendi (Sobre la perspectiva de la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares) . [14] [15] [16] El historiador Vasari en sus Vidas de los pintores llama a Piero el "mayor geómetra de su tiempo, o quizás de cualquier tiempo".[17] El interés de Piero por la perspectiva se puede ver en sus pinturas como el Políptico de Perugia , [18] el retablo de San Agostino y La flagelación de Cristo . Su trabajo sobre geometría influyó en los matemáticos y artistas posteriores, como Luca Pacioli en su De divina proporione y Leonardo da Vinci . Piero estudió matemáticas clásicas y las obras de Arquímedes . [19] Le enseñaron aritmética comercial en "escuelas de ábaco"; sus escritos están formateados como libros de texto escolares de ábaco, [20] quizás incluyendo1202 deLeonardo Pisano ( Fibonacci )Liber Abaci . La perspectiva lineal recién se estaba introduciendo en el mundo artístico. Alberti explicó en su De pictura de 1435: "los rayos de luz viajan en línea recta desde puntos de la escena observada hasta el ojo, formando una especie de pirámide con el ojo como vértice". Una pintura construida con perspectiva lineal es una sección transversal de esa pirámide. [21]

En De Prospectiva Pingendi , Piero transforma sus observaciones empíricas sobre la forma en que los aspectos de una figura cambian con el punto de vista en pruebas matemáticas. Su tratado comienza en la línea de Euclides: define el punto como "la cosa más pequeña que el ojo puede comprender". [a] [7] Utiliza la lógica deductiva para llevar al lector a la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional. [22]

El artista David Hockney argumentó en su libro Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters que los artistas comenzaron a usar una cámara lúcida desde la década de 1420, lo que resultó en un cambio repentino en la precisión y el realismo, y que esta práctica fue continuada por artistas importantes, incluidos Ingres , Van Eyck y Caravaggio . [23] Los críticos no están de acuerdo sobre si Hockney estaba en lo cierto. [24] [25] De manera similar, el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera controvertida [26] que Vermeer había utilizado un dispositivo diferente, la cámara oscura, para ayudarlo a crear sus pinturas distintivamente observadas. [27]

En 1509, Luca Pacioli (. C 1447-1517) publicado De divina proportione en matemática y artística proporción , incluso en el rostro humano. Leonardo da Vinci (1452-1519) ilustró el texto con xilografías de sólidos regulares mientras estudiaba con Pacioli en la década de 1490. Los dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones de sólidos esqueléticos. [28] Estos, como el rombicuboctaedro , fueron de los primeros en ser dibujados para demostrar la perspectiva superpuestos uno encima del otro. El trabajo analiza la perspectiva en las obras de Piero della Francesca , Melozzo da Forlì yMarco Palmezzano . [29] Da Vinci estudió la Summa de Pacioli , de la que copió tablas de proporciones. [30] En Mona Lisa y La última cena , el trabajo de Da Vinci incorporó una perspectiva lineal con un punto de fuga para proporcionar profundidad aparente. [31] La última cena se construye en una relación apretada de 12: 6: 4: 3, como es Raphael 's la escuela de Atenas , que incluye Pitágoras con una tableta de proporciones ideales, sagrado para los pitagóricos. [32] [33] En el Hombre de Vitruvio , Leonardo expresó las ideas del arquitecto romanoVitruvio , mostrando de manera innovadora la figura masculina dos veces, y centrándolo tanto en un círculo como en un cuadrado. [34]

Ya en el siglo XV, la perspectiva curvilínea se abrió camino en las pinturas de artistas interesados ​​en las distorsiones de la imagen. El Retrato de Arnolfini de 1434 de Jan van Eyck contiene un espejo convexo con reflejos de las personas en la escena, [35] mientras que el Autorretrato de Parmigianino en un espejo convexo , c. 1523-1524, muestra el rostro en gran parte sin distorsiones del artista en el centro, con un fondo fuertemente curvado y la mano del artista alrededor del borde. [36]

El espacio tridimensional se puede representar de manera convincente en el arte, como en el dibujo técnico , por medios distintos de la perspectiva. Las proyecciones oblicuas , incluida la perspectiva caballeresca (utilizada por artistas militares franceses para representar fortificaciones en el siglo XVIII), fueron utilizadas de forma continua y ubicua por artistas chinos desde los siglos I o II hasta el siglo XVIII. Los chinos adquirieron la técnica de la India, que la adquirieron de la Antigua Roma. La proyección oblicua se ve en el arte japonés, como en las pinturas de Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815). [37]

  • Xilografía de Luca Pacioli de 1509 De divina proporione con un triángulo equilátero en un rostro humano

  • Camera lucida en uso. Scientific American , 1879

  • Ilustración de un artista con una cámara oscura . siglo 17

  • Proporción: Leonardo 's Hombre de Vitruvio , c. 1490

  • Brunelleschi 'teoría s de perspectiva : Masaccio ' s Trinità , c. 1426-1428, en la Basílica de Santa Maria Novella

  • Diagrama de Della Pittura de 1435 de Leon Battista Alberti , con pilares en perspectiva sobre una cuadrícula

  • Perspectiva lineal en La flagelación de Cristo de Piero della Francesca , c. 1455-1460

  • Perspectiva curvilínea : espejo convexo en Jan van Eyck 's retrato de Arnolfini , 1434

  • Parmigianino , Autorretrato en espejo convexo , c. 1523-1524

  • Pitágoras con la tableta de coeficientes, en Raphael 's la escuela de Atenas de 1509

  • Proyección oblicua : Entrada y patio de un yamen . Detalle del pergamino sobre Suzhou por Xu Yang, encargado por el emperador Qianlong . siglo 18

  • Proyección oblicua : mujeres jugando juegos de mesa Shogi , Go y Ban-sugoroku . Pintura de Torii Kiyonaga , Japón, c. 1780

Proporción áurea [ editar ]

Más información: Relación de obras diseñadas con la proporción áurea

La proporción de oro (aproximadamente igual a 1,618) era conocido por Euclides . [38] Se ha afirmado persistentemente que la proporción áurea [39] [40] [41] [42] en los tiempos modernos ha sido utilizada en arte y arquitectura por los antiguos en Egipto, Grecia y otros lugares, sin evidencia confiable. [43] La afirmación puede derivar de la confusión con "media dorada", que para los antiguos griegos significaba "evitar el exceso en cualquier dirección", no una proporción. [43] Los piramidólogos desde el siglo XIX han argumentado sobre bases matemáticas dudosas para la proporción áurea en el diseño de pirámides. [b] El Partenón, un templo del siglo V a. C. en Atenas, se ha afirmado que utiliza la proporción áurea en su fachada y planta, [46] [47] [48] pero estas afirmaciones también son refutadas por la medición. [43] De manera similar, se ha afirmado que la Gran Mezquita de Kairouan en Túnez usa la proporción áurea en su diseño, [49] pero la proporción no aparece en las partes originales de la mezquita. [50] El historiador de la arquitectura Frederik Macody Lund argumentó en 1919 que la Catedral de Chartres (siglo XII), Notre-Dame de Laon (1157-1205) y Notre Dame de Paris (1160) están diseñadas según elproporción áurea , [51] trazando líneas reguladoras para hacer su caso. Otros estudiosos sostienen que hasta el trabajo de Pacioli en 1509, la proporción áurea era desconocida para los artistas y arquitectos. [52] Por ejemplo, la altura y el ancho del frente de Notre-Dame de Laon tienen una proporción de 8/5 o 1,6, no de 1,618. Estas proporciones de Fibonacci se vuelven rápidamente difíciles de distinguir de la proporción áurea. [53] Después de Pacioli, la proporción áurea es más claramente discernible en obras de arte como la Mona Lisa de Leonardo . [54]

Otra razón, el único otro número mórfico, [55] fue nombrado el número plástico [c] en 1928 por el arquitecto holandés Hans van der Laan (originalmente llamado le nombre radiante en francés). [56] Su valor es la solución de la ecuación cúbica.

,

un número irracional que es aproximadamente 1.325. Según el arquitecto Richard Padovan , esto tiene proporciones características3/4 y 1/7, que gobiernan los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan utilizó estas proporciones al diseñar la iglesia de la abadía de San Benedictusberg de 1967 en los Países Bajos. [56]

  • Base: las proporciones de hipotenusa (b: a) para la pirámide de Kepler podrían ser: 1: φ ( triángulo de Kepler ), 3: 5 ( triángulo 3-4-5 ) o 1: 4 / π

  • Proporciones supuestas: Notre-Dame de Laon

  • Rectángulos dorados superpuestos a la Mona Lisa

  • La iglesia de la abadía de San Benedictusberg de 1967 de Hans van der Laan tiene proporciones numéricas de plástico .

Simetrías planas [ editar ]

Más información: Simetría plana , Grupo de papel tapiz , Patrones geométricos islámicos y Kilim
Potente presencia: [57] alfombra con doble medallón. Anatolia central (Konya - Karapınar), finales de los siglos XVI / XVII. Mezquita de Alâeddin

Las simetrías planas se han explotado durante milenios en obras de arte como alfombras , celosías, textiles y revestimientos. [58] [59] [60] [61]

Muchas alfombras tradicionales, ya sean alfombras de pelo o kilims de tejido plano , se dividen en un campo central y un borde enmarcado; ambos pueden tener simetrías, aunque en las alfombras tejidas a mano estas suelen estar ligeramente rotas por pequeños detalles, variaciones de patrón y cambios de color introducidos por el tejedor. [58] En los kilims de Anatolia , los motivos utilizados suelen ser simétricos. El diseño general también suele estar presente, con arreglos como rayas, rayas alternadas con filas de motivos y conjuntos empaquetados de motivos aproximadamente hexagonales. El campo se presenta comúnmente como un fondo de pantalla con un grupo de papel tapiz como pmm, mientras que el borde se puede diseñar como un friso de un grupo de frisos.pm11, pmm2 o pma2. Los kilims turcos y de Asia Central a menudo tienen tres o más fronteras en diferentes grupos de frisos. Los tejedores ciertamente tenían la intención de la simetría, sin un conocimiento explícito de sus matemáticas. [58] El matemático y teórico de la arquitectura Nikos Salingaros sugiere que la "presencia poderosa" [57] (efecto estético) de una "gran alfombra" [57] como las mejores alfombras de dos medallones de Konya del siglo XVII es creada por técnicas relacionadas con las teorías del arquitecto Christopher Alexander. Estas técnicas incluyen hacer parejas de opuestos; valores de color opuestos; diferenciar áreas geométricamente, ya sea utilizando formas complementarias o equilibrando la direccionalidad de ángulos agudos; proporcionar complejidad a pequeña escala (desde el nivel del nudo hacia arriba) y simetría tanto a pequeña como a gran escala; elementos repetidos en una jerarquía de diferentes escalas (con una relación de aproximadamente 2,7 de cada nivel al siguiente). Salingaros sostiene que "todas las alfombras exitosas satisfacen al menos nueve de las diez reglas anteriores", y sugiere que podría ser posible crear una métrica a partir de estas reglas. [57]

Las celosías elaboradas se encuentran en el trabajo indio Jali , talladas en mármol para adornar tumbas y palacios. [59] Las celosías chinas, siempre con cierta simetría, existen en 14 de los 17 grupos de papel tapiz; a menudo tienen simetría de espejo, doble espejo o rotacional. Algunos tienen un medallón central y otros tienen un borde en un grupo de frisos. [62] Muchas celosías chinas han sido analizadas matemáticamente por Daniel S. Dye; él identifica a Sichuan como el centro del oficio. [63]

Azulejos girih

Las simetrías son prominentes en las artes textiles, incluido el acolchado , [60] tejido , [64] punto de cruz , crochet , [65] bordado [66] [67] y tejido , [68] donde pueden ser puramente decorativos o pueden ser marcas de estado. [69] La simetría rotacional se encuentra en estructuras circulares como cúpulas ; estos a veces están elaboradamente decorados con patrones simétricos por dentro y por fuera, como en la mezquita Sheikh Lotfollah de 1619 en Isfahan . [70]Los artículos de bordado y encajes , como manteles y manteles, hechos con bolillos o frivolité , pueden tener una amplia variedad de simetrías de reflexión y rotación que se están explorando matemáticamente. [71]

El arte islámico explota las simetrías en muchas de sus formas artísticas, especialmente en los girih tilings. Estos se forman utilizando un conjunto de cinco formas de baldosas, a saber, un decágono regular, un hexágono alargado, una pajarita, un rombo y un pentágono regular. Todos los lados de estas baldosas tienen la misma longitud; y todos sus ángulos son múltiplos de 36 ° (π / 5 radianes ), ofreciendo simetrías de cinco y diez veces. Las baldosas están decoradas con líneas de strapwork (girih), generalmente más visibles que los límites de las baldosas. En 2007, los físicos Peter Lu y Paul Steinhardt argumentaron que girih se parecía a las teselaciones de Penrose cuasicristalinas . [72] Elaborado geométricoEl mosaico de zellige es un elemento distintivo de la arquitectura marroquí . [61] Las bóvedas de Muqarnas son tridimensionales pero fueron diseñadas en dos dimensiones con dibujos de celdas geométricas. [73]

  • Hotamis kilim (detalle), Anatolia central , principios del siglo XIX.

  • Detalle de un brocado de la dinastía Ming , utilizando un patrón de celosía hexagonal biselada

  • Celosía de mármol Jaali en la tumba de Salim Chishti , Fatehpur Sikri , India

  • Simetrías : tapiz de patrón florentino de Bargello

  • Techo de la mezquita Sheikh Lotfollah , Isfahan , 1619

  • Simetría rotacional en encaje : trabajo de frivolité

  • Azulejos Girih : patrones a gran y pequeña escala en una enjuta del santuario Darb-i Imam , Isfahan, 1453

  • Teselaciones : mosaicos de zellige en Bou Inania Madrasa , Fes , Marruecos

  • La compleja geometría y los mosaicos de las bóvedas de los muqarnas en la mezquita Sheikh Lotfollah, Isfahan

  • Plano del arquitecto de una bóveda de barrio de muqarnas. Desplazamiento de Topkapı

  • Túnica Tupa Inca de Perú , 1450-1540, un tejido andino que denota un alto rango [69]

Poliedros [ editar ]

La primera ilustración impresa de un rombicuboctaedro , de Leonardo da Vinci , publicada en De Divina Proportione , 1509

Los sólidos platónicos y otros poliedros son un tema recurrente en el arte occidental. Se encuentran, por ejemplo, en un mosaico de mármol con el pequeño dodecaedro estrellado , atribuido a Paolo Uccello, en el piso de la Basílica de San Marco en Venecia; [12] en los diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci dibujados como ilustraciones para el libro de 1509 de Luca Pacioli La proporción divina ; [12] como un rombicuboctaedro de vidrio en el retrato de Pacioli de Jacopo de Barbari, pintado en 1495; [12] en el poliedro truncado (y varios otros objetos matemáticos) en Alberto Dureroel grabado de Melencolia I ; [12] y en el cuadro La Última Cena de Salvador Dalí , en el que se representa a Cristo y sus discípulos dentro de un dodecaedro gigante . [74]

Albrecht Dürer (1471-1528) fue un alemán del renacimiento grabador que hizo contribuciones importantes a la literatura poliédrica en su libro de 1525, Underweysung der Messung (Educación sobre la medición) , destinado a enseñar a los sujetos de la perspectiva lineal , la geometría de la arquitectura , sólidos platónicos , y polígonos regulares . Durero probablemente fue influenciado por las obras de Luca Pacioli y Piero della Francesca durante sus viajes a Italia . [75] Mientras que los ejemplos de perspectiva en Underweysung der Messungestán subdesarrollados y contienen inexactitudes, hay una discusión detallada de poliedros. Durero también es el primero en introducir en el texto la idea de redes poliédricas, poliedros desplegados para que queden planos para la impresión. [76] Durero publicó otro libro influyente sobre las proporciones humanas llamado Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre la proporción humana) en 1528. [77]

Salvador Dalí 's Crucifixión (Corpus Hypercubus) , 1954, representa a Cristo en la red matemática de un hipercubo , (óleo sobre lienzo, 194,3 x 123,8 cm, Museo Metropolitano de Arte , Nueva York) [78] [79]

El conocido grabado de Durero Melencolia I representa a un pensador frustrado sentado junto a un trapezoedro triangular truncado y un cuadrado mágico . [1] Estos dos objetos, y el grabado en su conjunto, han sido objeto de una interpretación más moderna que el contenido de casi cualquier otra impresión, [1] [80] [81] incluido un libro de dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster, [82] y una discusión influyente en la monografía de Durero de Erwin Panofsky . [1] [83]

El Corpus Hypercubus de Salvador Dalí representa una red tridimensional desplegada para un hipercubo , también conocido como tesseract ; el despliegue de un tesseract en estos ocho cubos es análogo a desplegar los lados de un cubo en una forma de cruz de seis cuadrados, aquí representando la perspectiva divina con un poliedro regular de cuatro dimensiones. [79] [78]

Dimensiones fractales [ editar ]

Los batik de Surakarta , Java, como este patrón de espada parang klithik , tienen una dimensión fractal entre 1.2 y 1.5.

Los diseños tradicionales indonesios de batik resistente a la cera sobre tela combinan motivos representativos (como elementos florales y vegetales) con elementos abstractos y algo caóticos, incluida la imprecisión en la aplicación de la cera y la variación aleatoria introducida por el agrietamiento de la cera. Los diseños de batik tienen una dimensión fractal entre 1 y 2, variando en diferentes estilos regionales. Por ejemplo, el batik de Cirebon tiene una dimensión fractal de 1,1; los batiks de Yogyakarta y Surakarta (Solo) en Java Central tienen una dimensión fractal de 1,2 a 1,5; y los batiks de Lasem en la costa norte de Java y de Tasikmalayaen Java Occidental tienen una dimensión fractal entre 1,5 y 1,7. [84]

Las obras de pintura por goteo del artista moderno Jackson Pollock son igualmente distintivas en su dimensión fractal. Su Número 14 de 1948 tiene una dimensión similar a la de la costa de 1,45, mientras que sus pinturas posteriores tenían dimensiones fractales sucesivamente más altas y, en consecuencia, patrones más elaborados. Uno de sus últimos trabajos, Blue Poles , tardó seis meses en crearse y tiene una dimensión fractal de 1,72. [85]

Una relación compleja [ editar ]

El astrónomo Galileo Galilei en su Il Saggiatore escribió que "[El universo] está escrito en el lenguaje de las matemáticas , y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas". [86] Los artistas que se esfuerzan y buscan estudiar la naturaleza deben primero, en opinión de Galileo, comprender completamente las matemáticas. Los matemáticos, por el contrario, han buscado interpretar y analizar el arte a través de la lente de la geometría y la racionalidad. El matemático Felipe Cucker sugiere que las matemáticas, y especialmente la geometría, son una fuente de reglas para la "creación artística impulsada por reglas", aunque no la única. [87] Algunas de las muchas vertientes de la compleja relación resultante [88] se describen a continuación.

El matemático GH Hardy definió un conjunto de criterios para la belleza matemática .

Matemáticas como arte [ editar ]

Artículo principal: Belleza matemática

El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte, afirmando que "las claves de las matemáticas son la belleza y la elegancia y no el aburrimiento y el tecnicismo", y que la belleza es la fuerza motivadora de la investigación matemática. [89] King cita el ensayo de 1940 del matemático GH Hardy A Mathematician's Apology . En él, Hardy explica por qué encuentra dos teoremas de los tiempos clásicos como primera clase, a saber , la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional . King evalúa esto último contra los criterios de Hardy para la elegancia matemática : "seriedad, profundidad, generalidad, inesperado, inevitabilidad y economía "(cursiva de King), y describe la prueba como" estéticamente agradable ". [90] El matemático húngaro Paul Erdős estuvo de acuerdo en que las matemáticas poseían belleza pero consideró las razones más allá de toda explicación:" ¿Por qué ¿Son hermosos los números? Es como preguntar por qué es hermosa la Novena Sinfonía de Beethoven . Si no ve por qué, alguien no puede decírselo. Yo sé los números son hermosas ". [91]

Herramientas matemáticas para el arte [ editar ]

Más información: Lista de artistas matemáticos , arte fractal y arte por computadora

Las matemáticas pueden ser discernidas en muchas de las artes, como la música , la danza , [92] la pintura , la arquitectura y la escultura . Cada uno de estos está muy asociado con las matemáticas. [93] Entre las conexiones con las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para los artistas, como las reglas de la perspectiva lineal descritas por Brook Taylor y Johann Lambert , o los métodos de geometría descriptiva , ahora aplicados en software de modelado de sólidos, datación volviendo a Alberto Durero y Gaspard Monge . [94] Artistas de Luca Pacioli en elLa Edad Media y Leonardo da Vinci y Alberto Durero en el Renacimiento han hecho uso y desarrollado ideas matemáticas en la búsqueda de su trabajo artístico. [93] [95] El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos usos embrionarios en la arquitectura de la Antigua Grecia, con pintores italianos como Giotto en el siglo XIII; reglas como el punto de fuga fueron formuladas por primera vez por Brunelleschi alrededor de 1413, [6] su teoría influyó en Leonardo y Durero. El trabajo de Isaac Newton sobre el espectro óptico influyó en la teoría de los colores de Goethe .ya su vez artistas como Philipp Otto Runge , JMW Turner , [96] los prerrafaelistas y Wassily Kandinsky . [97] [98] Los artistas también pueden optar por analizar la simetría de una escena. [99] Las herramientas pueden ser aplicadas por matemáticos que están explorando el arte, o artistas inspirados por las matemáticas, como MC Escher (inspirado por HSM Coxeter ) y el arquitecto Frank Gehry , quien argumentó más tenuemente que el diseño asistido por computadora le permitió expresarse en una forma completamente nueva. [100]

Octopod de Mikael Hvidtfeldt Christensen. Arte algorítmico producido con el software Structure Synth

El artista Richard Wright sostiene que los objetos matemáticos que se pueden construir pueden verse "como procesos para simular fenómenos" o como obras de " arte por computadora ". Considera la naturaleza del pensamiento matemático, observando que los fractales eran conocidos por los matemáticos durante un siglo antes de que fueran reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para "llegar a un acuerdo con los artefactos culturales como el arte, la tensión entre objetividad y subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación". Da como ejemplos una imagen del conjunto de Mandelbrot , una imagen generada por un algoritmo de autómata celular y unimagen renderizada por computadora , y analiza, con referencia a la prueba de Turing , si los productos algorítmicos pueden ser arte. [101] Matemáticas y arte de Sasho Kalajdzievski : una introducción a las matemáticas visuales adopta un enfoque similar, examinando temas matemáticos adecuadamente visuales como teselaciones, fractales y geometría hiperbólica. [102]

Algunas de las primeras obras de arte por computadora fueron creadas por "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry , una máquina analógica basada en una computadora con vista de bombas y exhibida en 1962. [103] [104] La máquina era capaz de crear elementos abstractos y complejos. , dibujos asimétricos, curvilíneos, pero repetitivos. [103] [105] Más recientemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creado formas que sugieren objetos del mundo real como peces y pájaros, utilizando fórmulas que se van variando sucesivamente para dibujar familias de curvas o líneas en ángulo. [106] [107] [108] Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras deArte generativo o algorítmico escribiendo guiones para un sistema de software como Structure Synth : el artista dirige efectivamente el sistema para aplicar una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos elegido. [109] [110]

  • Escultura matemática de Bathsheba Grossman , 2007

  • Escultura fractal : 3D Fraktal 03 / H / dd de Hartmut Skerbisch , 2003

  • Palabra Fibonacci : detalle de la obra de arte de Samuel Monnier, 2009

  • Imagen de arte por computadora producida por "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry , exhibida en 1962

  • Un pájaro en vuelo , de Hamid Naderi Yeganeh , 2016, construido con una familia de curvas matemáticas.

De las matemáticas al arte [ editar ]

Protocubismo : La pintura de 1907 de Pablo Picasso Les Demoiselles d'Avignon utiliza una proyección de cuarta dimensión para mostrar una figura tanto de rostro completo como de perfil. [111]
Más información: Protocubismo , teselación , MC Escher , Matemáticas del plegado de papel y Matemáticas y artes de fibra.

El matemático y físico teórico Henri Poincaré 's Ciencia e Hipótesis fue muy leído por los cubistas , entre ellos Pablo Picasso y Jean Metzinger . [112] [113] Al estar completamente familiarizado con el trabajo de Bernhard Riemann sobre geometría no euclidiana, Poincaré era más que consciente de que la geometría euclidiana es solo una de las muchas configuraciones geométricas posibles, más que una verdad objetiva absoluta. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a cuestionar la perspectiva clásica del Renacimiento : la geometría no euclidianase convirtió en una alternativa válida. [114] [115] [116] El concepto de que la pintura podía expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento artístico que condujo al arte abstracto . [117] Metzinger, en 1910, escribió que: "[Picasso] establece una perspectiva libre y móvil, de la que ese ingenioso matemático Maurice Princet ha deducido toda una geometría". [118] Más tarde, Metzinger escribió en sus memorias:

Maurice Princet se unió a nosotros a menudo ... fue como artista que conceptualizó las matemáticas, como esteticista que invocó continuos n- dimensionales. Le encantaba que los artistas se interesaran por las nuevas visiones del espacio que habían abierto Schlegel y algunos otros. Tuvo éxito en eso. [119]

El impulso de hacer modelos de enseñanza o investigación de formas matemáticas crea de forma natural objetos que tienen simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de ellos han inspirado a artistas como los dadaístas Man Ray , [120] Marcel Duchamp [121] y Max Ernst , [122] [123] y siguiendo a Man Ray, Hiroshi Sugimoto . [124]

Enneper emerge como dadaísmo : Objet Mathique de 1934 de Man Ray

Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos en el Institut Henri Poincaré en París, incluido Objet Mathique (Objeto matemático). Señaló que esto representaba superficies de Enneper con curvatura negativa constante , derivada de la pseudoesfera . Esta base matemática era importante para él, ya que le permitía negar que el objeto era "abstracto", en lugar de afirmar que era tan real como el urinario que Duchamp convirtió en una obra de arte. Man Ray admitió que la fórmula del objeto [Enneper surface] "no significaba nada para mí, pero las formas en sí mismas eran tan variadas y auténticas como cualquier otra en la naturaleza". Usó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras en su serie que hizo enObras de Shakespeare , como su pintura de 1934 Antonio y Cleopatra . [125] El reportero de arte Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife , sostiene que Man Ray fotografió "los paraboloides elípticos y los puntos cónicos con la misma luz sensual que sus imágenes de Kiki de Montparnasse ", y "reutiliza ingeniosamente los geniales cálculos de las matemáticas para revelar la topología del deseo ". [126] Escultores del siglo XX como Henry Moore , Barbara Hepworth y Naum Gabo se inspiraron en modelos matemáticos. [127] Moore escribió sobre su madre e hijo atados de 1938: "Sin duda, la fuente de mis figuras de cuerdas fue el Museo de la Ciencia  ... Me fascinaron los modelos matemáticos que vi allí ... No fue el estudio científico de estos modelos, sino la capacidad de mirar a través de las cuerdas como con un jaula de pájaros y ver una forma dentro de otra que me emocionó ". [128]

Theo van Doesburg 's seis momentos en el desarrollo del avión al espacio , 1926 o 1929

Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento De Stijl , que querían "establecer un vocabulario visual compuesto por formas geométricas elementales comprensibles para todos y adaptables a cualquier disciplina". [129] [130] Muchas de sus obras de arte consisten visiblemente en cuadrados y triángulos reglados, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, mobiliario, diseño de interiores y arquitectura. [129] Después de la ruptura de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento Art Concret de vanguardia , describiendo su composición aritmética de 1929-1930., una serie de cuatro cuadrados negros en la diagonal de un fondo cuadrado, como "una estructura que se puede controlar, una superficie definida sin elementos de azar ni capricho individual", pero "sin falta de espíritu, sin falta de universal y no .. . vacío como hay todo lo que se ajusta al ritmo interno ". La crítica de arte Gladys Fabre observa que hay dos progresiones en la pintura, a saber, los cuadrados negros crecientes y los fondos alternos. [131]

Las matemáticas de la teselación , los poliedros, la configuración del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico MC Escher (1898-1972) los materiales de toda una vida para sus grabados en madera. [132] [133] En el Bosquejo de la Alhambra , Escher mostró que el arte se puede crear con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. Escher usó polígonos irregulares al colocar en mosaico el plano y a menudo usó reflejos, reflejos de deslizamiento y traslacionespara obtener más patrones. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, realizadas a partir de objetos geométricos que establecen una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero agradables a la vista humana. Ascending and Descending de Escher se basa en la " escalera imposible " creada por el científico médico Lionel Penrose y su hijo, el matemático Roger Penrose . [134] [135] [136]

Algunos de los muchos dibujos de teselación de Escher se inspiraron en conversaciones con el matemático HSM Coxeter sobre geometría hiperbólica . [137] Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su trabajo. Los sólidos platónicos —tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros— son especialmente prominentes en Orden y Caos y Cuatro sólidos regulares . [138] Estas figuras estrelladas a menudo residen dentro de otra figura que distorsiona aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros y proporciona una obra de arte en perspectiva multifacética. [139]

La complejidad visual de las estructuras matemáticas, como los teselados y los poliedros, ha inspirado una variedad de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin hace rompecabezas poliédricos en maderas raras y hermosas; George W. Hart trabaja en la teoría de los poliedros y esculpe objetos inspirados en ellos; Magnus Wenninger hace modelos "especialmente hermosos" de complejos poliedros estrellados . [140]

Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis se han explorado en el arte desde el siglo XVI, cuando Hans Holbein el Joven incorporó un cráneo severamente distorsionado en su pintura de 1533 Los embajadores . Desde entonces, muchos artistas, incluido Escher, han hecho uso de trucos anamórficos. [141]

Las matemáticas de la topología han inspirado a varios artistas en los tiempos modernos. El escultor John Robinson (1935-2007) creó obras como Gordian Knot y Bands of Friendship , mostrando la teoría del nudo en bronce pulido. [7] Otros trabajos de Robinson exploran la topología de los toros . El Génesis se basa en los anillos borromeos : un conjunto de tres círculos, de los cuales no hay dos que se unan, pero en los que toda la estructura no se puede desmontar sin romperse. [142] El escultor Helaman Ferguson crea superficies complejas y otros objetos topológicos.. [143] Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; The Eightfold Way se basa en el grupo lineal especial proyectivo PSL (2,7) , un grupo finito de 168 elementos. [144] [145] La escultora Bathsheba Grossman basa igualmente su trabajo en estructuras matemáticas. [146] [147] El artista Nelson Saiers incorpora conceptos matemáticos y teoremas en su arte, desde topos y esquemas hasta el teorema de los cuatro colores y la irracionalidad de π . [148]

Un proyecto de investigación sobre artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la tira de Möbius , los flexagons , el origami y la fotografía panorámica . [149]

Los objetos matemáticos, incluida la variedad de Lorenz y el plano hiperbólico, se han elaborado utilizando artes de fibra, incluido el crochet. [d] [151] La tejedora estadounidense Ada Dietz escribió una monografía de 1949 Expresiones algebraicas en textiles tejidos a mano , definiendo patrones de tejido basados ​​en la expansión de polinomios multivariados . [152] La matemática Daina Taimiņa demostró características del plano hiperbólico tejiendo en 2001. [153] Esto llevó a Margaret y Christine Wertheim a tejer un arrecife de coral, formado por muchos animales marinos como los nudibranquios cuyas formas se basan en planos hiperbólicos. [154] El matemático JCP Miller utilizó el autómata celular Regla 90 para diseñar tapices que representan tanto árboles como patrones abstractos de triángulos. [155] Los "matemáticos" [156] Pat Ashforth y Steve Plummer utilizan versiones tejidas de objetos matemáticos como los hexaflexágonos en su enseñanza, aunque su esponja Menger resultó ser demasiado problemática para tejer y estaba hecha de lona plástica. [157] [158]Su proyecto "mathghans" (afganos para las escuelas) introdujo el tejido en el plan de estudios británico de matemáticas y tecnología. [159] [160]

  • Espacio tetradimensional al cubismo : Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensiones de 1903 de Esprit Jouffret . [161] [e]

  • De Stijl : Composición geométrica I de Theo van Doesburg (Naturaleza muerta) , 1916

  • Pedagogía del arte: Magnus Wenninger con algunos de sus poliedros estrellados , 2009

  • Una bufanda de rayas de Möbius en crochet , 2007

  • Anamorfismo : Los embajadores de Hans Holbein el Joven , 1533, con el cráneo severamente distorsionado en primer plano

  • Arrecife de coral tejido a ganchillo : muchos animales modelados como planos hiperbólicos con parámetros variables por Margaret y Christine Wertheim . Arrecife Föhr , Tubinga, 2013

Semiótica broma: René Magritte 's La condición humana 1933

Ilustrando las matemáticas [ editar ]

Cara frontal de Giotto 's Stefaneschi Tríptico , 1320 ilustra la recursividad .
Detalle del cardenal Stefaneschi sosteniendo el tríptico

El modelado está lejos de ser la única forma posible de ilustrar conceptos matemáticos. El Tríptico Stefaneschi de Giotto , 1320, ilustra la recursividad en forma de mise en abyme ; el panel central del tríptico contiene, abajo a la izquierda, la figura arrodillada del cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico como ofrenda. [163] Giorgio de Chirico 's metafísicos pinturas como su 1917 Gran Metafísico Interior explorar la cuestión de los niveles de representación en el arte de pinturas que representan dentro de sus pinturas. [164]

El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como en algunos cuadros del surrealista René Magritte , que pueden leerse como bromas semióticas sobre la confusión entre niveles. En La condition humaine (1933), Magritte representa un caballete (en el lienzo real), que sostiene a la perfección una vista a través de una ventana que está enmarcada por cortinas "reales" en la pintura. De manera similar, Escher's Print Gallery (1956) es un grabado que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que contiene recursivamente la imagen, y así ad infinitum . [165] Magritte hizo uso de esferas y cuboides para distorsionar la realidad de una manera diferente, pintándolos junto con una variedad de casas en su 1931Aritmética mental como si fueran bloques de construcción para niños, pero del tamaño de una casa. [166] The Guardian observó que la "misteriosa imagen de la ciudad de los juguetes" profetizaba la usurpación del Modernismo de "formas tradicionales acogedoras", pero también juega con la tendencia humana a buscar patrones en la naturaleza . [167]

Diagrama de la aparente paradoja incorporada en la litografía Print Gallery de 1956 de MC Escher , como la discutió Douglas Hofstadter en su libro de 1980 Gödel, Escher, Bach [168]

El último cuadro de Salvador Dalí, La cola de golondrina (1983), formaba parte de una serie inspirada en la teoría de la catástrofe de René Thom . [169] El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza. Compuesto por formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como Angular I y Automnes , Palazuelo se expresó en transformaciones geométricas. [7]

El artista Adrian Gray practica el equilibrio de piedras , explotando la fricción y el centro de gravedad para crear composiciones sorprendentes y aparentemente imposibles. [170]

Galería de láminas de litografía de MC Escher , 1956

Los artistas, sin embargo, no necesariamente toman la geometría literalmente. Como escribe Douglas Hofstadter en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, Gödel, Escher, Bach , a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: "La diferencia entre un dibujo de Escher y una geometría no euclidiana es que en esta última, comprensible se pueden encontrar interpretaciones para los términos indefinidos, lo que da como resultado un sistema total comprensible, mientras que para los primeros, el resultado final no es conciliable con la concepción del mundo que uno tiene, por mucho que uno mire las imágenes ". Hofstadter analiza la litografía aparentemente paradójica Print Gallerypor MC Escher; representa una ciudad costera que contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, existiendo un "bucle extraño o jerarquía enredada" en los niveles de realidad de la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no se ve; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. [168] El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra , quienes proponen que podría contener una copia en efecto Droste de sí misma, rotada y encogida; esto sería una ilustración más de la recursividad más allá de lo señalado por Hofstadter. [171] [172]

Análisis de la historia del arte [ editar ]

El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo mediante espectroscopia de fluorescencia de rayos X , puede revelar información sobre el arte. Estas técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura que luego cubrirá un artista; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra de arte antes de que se agriete o se desvanezca; ayudar a distinguir una copia de un original, o distinguir el estilo de pincelada de un maestro de los de sus aprendices. [173] [174]

Max Ernst haciendo figuras de Lissajous , Nueva York, 1942

Jackson Pollock 's dripping estilo [175] tiene un definido dimensión fractal ; [176] entre los artistas que pueden haber influido en el caos controlado de Pollock , [177] Max Ernst pintó figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo de pintura perforado sobre un lienzo. [178]

El científico informático Neil Dodgson investigó si las pinturas de rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente, concluyendo que si bien la distancia de separación podía "proporcionar alguna caracterización" y la entropía global funcionaba en algunas pinturas, la autocorrelación fallaba porque los patrones de Riley eran irregulares. La entropía local funcionó mejor y se correlacionó bien con la descripción dada por el crítico de arte Robert Kudielka. [179]

La medida estética de 1933 del matemático estadounidense George Birkhoff propone una métrica cuantitativa de la calidad estética de una obra de arte. No intenta medir las connotaciones de una obra, como lo que podría significar una pintura, sino que se limita a los "elementos de orden" de una figura poligonal. Birkhoff primero combina (como suma) cinco de esos elementos: si existe un eje vertical de simetría; si hay equilibrio óptico; cuántas simetrías rotacionales tiene; qué tan parecida a un papel tapiz es la figura; y si hay características insatisfactorias, como tener dos vértices demasiado juntos. Esta métrica, O , toma un valor entre −3 y 7. La segunda métrica, C, cuenta los elementos de la figura, que para un polígono es el número de líneas rectas diferentes que contienen al menos uno de sus lados. Birkhoff define entonces su medida estética de la belleza de un objeto como O / C . Esto se puede interpretar como un equilibrio entre el placer que da mirar el objeto y la cantidad de esfuerzo necesario para asimilarlo. La propuesta de Birkhoff ha sido criticada de varias maneras, entre otras cosas por tratar de poner la belleza en una fórmula, pero nunca afirmó haber hecho eso. [180]

Estímulos para la investigación matemática [ editar ]

Más información: Geometría proyectiva y Matemáticas del plegado de papel

El arte a veces ha estimulado el desarrollo de las matemáticas, como cuando la teoría de la perspectiva de Brunelleschi en la arquitectura y la pintura inició un ciclo de investigación que condujo al trabajo de Brook Taylor y Johann Heinrich Lambert sobre los fundamentos matemáticos del dibujo en perspectiva, [181] y finalmente las matemáticas de la geometría proyectiva de Girard Desargues y Jean-Victor Poncelet . [182]

El arte japonés de doblar papel del origami ha sido reelaborado matemáticamente por Tomoko Fusé utilizando módulos , trozos de papel congruentes como cuadrados, y convirtiéndolos en poliedros o mosaicos. [183] El plegado de papel fue utilizado en 1893 por T. Sundara Rao en sus Ejercicios geométricos en plegado de papel para demostrar pruebas geométricas. [184] Las matemáticas del plegado de papel se han explorado en el teorema de Maekawa , [185] el teorema de Kawasaki , [186] y los axiomas de Huzita-Hatori . [187]

  • Estímulo a la geometría proyectiva : diagrama de Alberti que muestra un círculo visto en perspectiva como una elipse . Della Pittura , 1435-1436

  • Origami matemático : Spring Into Action , de Jeff Beynon, hecho de un solo rectángulo de papel. [188]

Ilusión al op art [ editar ]

Más información: Op art
La ilusión en espiral de Fraser , llamada así por Sir James Fraser, quien la descubrió en 1908.

Las ilusiones ópticas como la espiral de Fraser demuestran de manera sorprendente las limitaciones en la percepción visual humana, creando lo que el historiador del arte Ernst Gombrich llamó un "truco desconcertante". Las cuerdas blancas y negras que parecen formar espirales son de hecho círculos concéntricos . El Op art o el estilo de arte óptico de pintura y gráficos de mediados del siglo XX explotaron tales efectos para crear la impresión de movimiento y patrones de destellos o vibraciones que se ven en el trabajo de artistas como Bridget Riley , Spyros Horemis [189] y Victor Vasarely . [190]

Geometría sagrada [ editar ]

Más información: geometría sagrada y matemáticas y música

Una rama del arte de la antigua Grecia en adelante ve a Dios como el geómetra del mundo y, por lo tanto, a la geometría del mundo como sagrada. La creencia de que Dios creó el universo según un plan geométrico tiene orígenes antiguos. Plutarco atribuyó la creencia a Platón , escribiendo que "Platón dijo que Dios geometriza continuamente" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico derivó a su vez de una noción pitagórica de armonía en la música, donde las notas estaban espaciadas en proporciones perfectas, correspondientes a la longitud de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba ordenado por Número. Del mismo modo, en el pensamiento platónico, laLos sólidos regulares o platónicos dictan las proporciones que se encuentran en la naturaleza y en el arte. [191] [192] Una iluminación en el Codex Vindobonensis del siglo XIII muestra a Dios dibujando el universo con un par de brújulas, que puede referirse a un versículo del Antiguo Testamento: "Cuando estableció los cielos yo estaba allí: cuando él pon un compás sobre la faz del abismo "(Proverbios 8:27),. [193] En 1596, el astrónomo matemático Johannes Kepler modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. [193] William Blake 's antiguo de días (que representa Urizen, Encarnación de Blake de la razón y la ley) y su pintura del físico Isaac Newton , desnudo, encorvado y dibujando con un compás, utilizan el simbolismo del compás para criticar la razón convencional y el materialismo como de mente estrecha. [194] [195] La Crucifixión de Salvador Dalí de 1954 (Corpus Hypercubus) muestra la cruz como un hipercubo , que representa la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de las tres habituales. [79] En El sacramento de la Última Cena de Dalí (1955), Cristo y sus discípulos están representados dentro de un dodecaedro gigante . [196]

  • Dios el geómetra. Codex Vindobonensis , c. 1220

  • La creación, con el porte Pantocrátor . Biblia de San Luis , c. 1220-1240

  • Johannes Kepler 's sólido platónico modelo de espaciamiento planetario en el sistema solar de Mysterium Cosmographicum , 1596

  • William Blake 's El Anciano de los Días de 1794

  • Newton de William Blake , c. 1800

Ver también [ editar ]

  • Matemáticas y arquitectura
  • Musica y matematicas

Notas [ editar ]

  1. ↑ En italiano de Piero: "una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere".
  2. ^ La relación entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base es 1,619, menos del 1% de la proporción áurea, lo que implica el uso del triángulo de Kepler (ángulo de la cara 51 ° 49 '). [43] [44] Es más probable que las pirámides se hicieron con el triángulo 3-4-5 (ángulo de la cara 53 ° 8 '), conocido por el Papiro Matemático Rhind ; o con el triángulo con una relación de base a hipotenusa 1: 4 / π (ángulo de la cara 51 ° 50 '). [45]
  3. ^ ' Plástico ' nombró la capacidad de adoptar una forma tridimensional elegida.
  4. ^ Imágenes y videos de lavariedad Lorenz de ganchillode Hinke Osinga llegaron a las noticias de la televisión internacional, como se puede ver en el sitio web vinculado. [150]
  5. ↑ Maurice Princet le dio una copia a Pablo Picasso , cuyos cuadernos de bocetos para Les Demoiselles d'Avignon ilustran la influencia de Jouffret. [112] [162]

Referencias [ editar ]

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Enlaces externos [ editar ]

  • Conferencia de la organización Bridges sobre las conexiones entre el arte y las matemáticas
  • Cerrando la brecha entre las matemáticas y el arte - Presentación de diapositivas de Scientific American
  • Descubriendo el arte de las matemáticas
  • Matemáticas y Arte - AMS
  • Matemáticas y arte : cortar el nudo
  • Imágenes matemáticas - American Mathematical Society
  • Matemáticas en el arte y la arquitectura - Universidad Nacional de Singapur
  • Arte matemático - Museo virtual de matemáticas
  • Cuando el arte y chocan matemáticas - Noticias de la ciencia
  • Por qué la historia de las matemáticas es también la historia del arte : Lynn Gamwell en The Guardian