En el análisis matemático , un límite de Banach es un funcional lineal continuo . definido en el espacio Banach de todas las secuencias con valores complejos acotadas de manera que para todas las secuencias, en y números complejos :
- (linealidad);
- Si para todos , luego (positividad);
- , dónde es el operador de turno definido por (invariancia de desplazamiento);
- Si es una secuencia convergente , entonces.
Por eso, es una extensión de lo funcional continuo dónde es el espacio vectorial complejo de todas las secuencias que convergen a un límite (habitual) en.
En otras palabras, un límite de Banach extiende los límites habituales, es lineal, invariante al desplazamiento y positivo. Sin embargo, existen secuencias para las que los valores de dos límites de Banach no coinciden. Decimos que el límite de Banach no se determina de forma única en este caso.
Como consecuencia de las propiedades anteriores, un límite de Banach con valor real también satisface:
La existencia de límites de Banach suele demostrarse mediante el teorema de Hahn-Banach (enfoque del analista), [1] o mediante ultrafiltros (este enfoque es más frecuente en exposiciones teóricas de conjuntos). [2] Estas pruebas necesariamente utilizan el axioma de elección (la llamada prueba no efectiva).
Casi convergencia
Hay secuencias no convergentes que tienen un límite de Banach determinado de forma única. Por ejemplo, si, luego es una secuencia constante, y
sostiene. Por lo tanto, para cualquier límite de Banach, esta secuencia tiene límite.
Una secuencia acotada con la propiedad, que por cada límite de Banach el valor es igual, se llama casi convergente .
Espacios banach
Dada una secuencia convergente en , el límite ordinario de no surge de un elemento de , si la dualidad se considera. Este último significaes el espacio dual continuo ( espacio dual de Banach) de, y consecuentemente, induce funcionales lineales continuos en , pero no todos. Cualquier límite de Banach en es un ejemplo de un elemento del espacio dual de Banach de que no esta en . El dual dese conoce como el espacio ba , y consta de todas las medidas finitamente aditivas (con signo ) en el álgebra sigma de todos los subconjuntos de los números naturales , o equivalentemente, todas las medidas de Borel (con signo) en la compactación de Stone-Čech de los números naturales.
enlaces externos
Referencias
- Balcar, Bohuslav ; Štěpánek, Petr (2000). Teorie množin (en checo) (2 ed.). Praha: Academia. ISBN 802000470X.
- Conway, John B. (1994). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-97245-5.