En matemáticas , una prueba por descendencia infinita , también conocida como método de descendencia de Fermat, es un tipo particular de prueba por contradicción que se usa para mostrar que una declaración no puede ser válida para ningún número, mostrando que si la declaración fuera válida para un número , entonces lo mismo sería cierto para un número menor, lo que conduciría a un descenso infinito y, en última instancia, a una contradicción. [1] [2] Es un método que se basa en el principio del buen orden y se usa a menudo para mostrar que una ecuación dada, como una ecuación diofántica , no tiene soluciones. [3] [4]
Por lo general, se muestra que si existiera una solución a un problema, que en cierto sentido estaba relacionado con uno o más números naturales, necesariamente implicaría que existía una segunda solución, que estaba relacionada con uno o más números naturales 'más pequeños'. Esto a su vez implicaría una tercera solución relacionada con números naturales más pequeños, lo que implica una cuarta solución, por lo tanto una quinta solución, y así sucesivamente. Sin embargo, no puede haber una infinidad de números naturales cada vez más pequeños y, por lo tanto, por inducción matemática , la premisa original, que cualquier solución existe, es incorrecta: su corrección produce una contradicción .
Una forma alternativa de expresar esto es asumir que existen una o más soluciones o ejemplos, a partir de los cuales se puede inferir una solución o un ejemplo mínimo, un contraejemplo mínimo . Una vez allí, se intentaría probar que si existe una solución más pequeña, entonces debe implicar la existencia de una solución más pequeña (en algún sentido), lo que prueba nuevamente que la existencia de cualquier solución conduciría a una contradicción.
Los primeros usos del método del descenso infinito aparecen en Elementos de Euclides . [3] Un ejemplo típico es la Proposición 31 del Libro 7, en el que Euclides demuestra que cada entero compuesto se divide (en la terminología de Euclides "medido") por algún número primo. [2]
El método fue desarrollado mucho más tarde por Fermat , quien acuñó el término y lo usó a menudo para las ecuaciones diofánticas . [4] [5] Dos ejemplos típicos muestran la no solubilidad de la ecuación diofántica r 2 + s 4 = t 4 y demuestran el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar p se puede expresar como una suma de dos cuadrados cuando p ≡ 1 ( mod 4) (ver prueba ). De esta forma Fermat pudo demostrar la inexistencia de soluciones en muchos casos de ecuaciones diofánticas de interés clásico (por ejemplo, el problema de cuatro cuadrados perfectos en progresión aritmética ).
En algunos casos, el ojo moderno, su "método de descenso infinito" es una explotación de la inversión de la función de duplicación de puntos racionales de una curva elíptica E . El contexto es de un punto racional no trivial hipotética en E . Duplicar un punto en E duplica aproximadamente la longitud de los números necesarios para escribirlo (como número de dígitos), de modo que "dividir a la mitad" un punto da una razón racional con términos más pequeños. Dado que los términos son positivos, no pueden disminuir para siempre.
Teoría de los números
En la teoría de los números del siglo XX, el método de descenso infinito fue retomada, y empujó a un punto donde se conecta con la idea central de la teoría algebraica de números y el estudio de las funciones-L . El resultado estructural de Mordell , que los puntos racionales en una curva elíptica E forman un grupo abeliano generado finitamente , utilizó un argumento de descendencia infinita basado en E / 2 E en el estilo de Fermat.
Para extender esto al caso de una variedad abeliana A , André Weil tuvo que hacer más explícita la forma de cuantificar el tamaño de una solución, mediante una función de altura , un concepto que se convirtió en fundacional. Para demostrar que A ( Q ) / 2 A ( Q ) es finito, lo que ciertamente es una condición necesaria para la generación finita del grupo A ( Q ) de puntos racionales de A , se deben hacer cálculos en lo que luego se reconoció como Galois. cohomología . De esta manera, los grupos de cohomología definidos de manera abstracta en la teoría se identifican con los descendientes en la tradición de Fermat. El teorema de Mordell-Weil fue el comienzo de lo que luego se convirtió en una teoría muy extensa.
Ejemplos de aplicación
Irracionalidad de √ 2
La prueba de que la raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) es irracional (es decir, no puede expresarse como una fracción de dos números enteros) fue descubierta por los antiguos griegos , y es quizás el ejemplo más antiguo conocido de una prueba por descendencia infinita. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en el lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero a menudo se menciona el nombre de Hippasus de Metapontum. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hippasus fue asesinado por divulgarlo. [6] [7] [8] La raíz cuadrada de dos se llama ocasionalmente "número de Pitágoras" o "constante de Pitágoras", por ejemplo, Conway & Guy (1996) . [9]
Los antiguos griegos , al no tener álgebra , elaboraron una prueba geométrica por descendencia infinita ( John Horton Conway presentó otra prueba geométrica por descendencia infinita que puede ser más accesible [10] ). La siguiente es una prueba algebraica en líneas similares:
Suponga que √ 2 fueran racionales . Entonces podría escribirse como
para dos números naturales, p y q . Entonces cuadrar daría
entonces 2 debe dividir p 2 . Como 2 es un número primo , también debe dividir p por el lema de Euclides . Entonces p = 2 r , para algún número entero r .
Pero entonces,
lo que muestra que 2 también debe dividir q . Entonces q = 2 s para algunos enteros s .
Esto da
- .
Por lo tanto, si √ 2 pudiera escribirse como un número racional, entonces siempre podría escribirse como un número racional con partes más pequeñas, que a su vez podría escribirse con partes aún más pequeñas, ad infinitum . Pero esto es imposible en el conjunto de números naturales . Dado que √ 2 es un número real , que puede ser racional o irracional, la única opción que queda es que √ 2 sea irracional. [11]
(Alternativamente, esto prueba que si √ 2 fuera racional, no podría existir ninguna representación "más pequeña" como fracción, ya que cualquier intento de encontrar una representación "más pequeña" p / q implicaría que existía una más pequeña, lo cual es una contradicción similar. )
Irracionalidad de √ k si no es un número entero
Para entero positivo k , supongamos que √ k no es un entero, pero es racional y puede expresarse como m / n para números naturales m y n , y dejar que q sea el mayor entero menor √ k . Luego
El numerador y el denominador se multiplicaron cada uno por la expresión ( √ k - q ), que es positiva pero menor que 1, y luego se simplificaron de forma independiente. Así que dos productos resultantes, dicen m ' y n' , son en sí mismos enteros, que son menos de m y n , respectivamente. Por lo tanto, no importa qué números naturales m y n se utilizan para expresar √ k , existen números naturales más pequeños M ' < m y n' < n que tienen la misma relación. Pero el descenso infinito de los números naturales es imposible, por lo que esto refuta la suposición original de que √ k podría expresarse como una razón de números naturales. [12]
No solubilidad de r 2 + s 4 = t 4 y sus permutaciones
La no solubilidad de en números enteros es suficiente para mostrar la no solubilidad de en números enteros, que es un caso especial del último teorema de Fermat , y las pruebas históricas de este último procedieron probando más ampliamente el primero utilizando la descendencia infinita. La siguiente prueba más reciente demuestra estas dos imposibilidades al demostrar aún más ampliamente que un triángulo pitagórico no puede tener dos de sus lados, ya sea un cuadrado o dos veces un cuadrado, ya que no existe tal triángulo más pequeño: [13]
Supongamos que existe tal triángulo pitagórico. Luego, puede reducirse para dar un triángulo pitagórico primitivo (es decir, sin factores comunes distintos de 1) con la misma propiedad. Los lados de los triángulos pitagóricos primitivos se pueden escribir como , Con un y b primos y con a + b extraño y por lo tanto y y z ambos impares. La propiedad de que y y z son impares significa que ni y ni z pueden ser dos veces un cuadrado. Además, si x es un cuadrado o dos veces un cuadrado, entonces cada uno de una y b es un cuadrado o dos veces un cuadrado. Hay tres casos, dependiendo de qué dos lados se postulan para que cada uno sea un cuadrado o dos veces un cuadrado:
- y y z : en este caso y y z son ambos cuadrados. Pero luego el triángulo rectángulo con piernas y e hipotenusa también tendría lados enteros incluyendo un cateto cuadrado () y una hipotenusa cuadrada (), y tendría una hipotenusa más pequeña ( en comparación con ).
- z y x : z es un cuadrado. El triángulo rectángulo entero con catetos y e hipotenusa también tendría dos lados y ) cada uno de los cuales es un cuadrado o dos veces un cuadrado, y una hipotenusa más pequeña ( en comparación con ) .
- y y x : y es un cuadrado. El triángulo rectángulo entero con catetos y e hipotenusa tendría dos lados ( b y una ) cada uno de los cuales es un cuadrado o dos veces un cuadrado, con una hipotenusa más pequeño que el triángulo original ( en comparación con ).
En cualquiera de estos casos, un triángulo pitagórico con dos lados cada uno de los cuales es un cuadrado o dos veces un cuadrado ha dado lugar a uno más pequeño, que a su vez daría lugar a uno más pequeño, etc .; dado que tal secuencia no puede continuar infinitamente, la premisa original de que tal triángulo existe debe ser incorrecta.
Esto implica que las ecuaciones
- y
no puede tener soluciones no triviales, ya que las soluciones no triviales darían triángulos pitagóricos con dos lados siendo cuadrados.
Para otras pruebas similares por descendencia infinita para el caso n = 4 del teorema de Fermat, véanse los artículos de Grant y Perella [14] y Barbara. [15]
Ver también
- Vieta saltando
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - prueba por ascendencia infinita" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "¿Qué es el descenso infinito" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ a b "Método de Fermat de descenso infinito | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ a b Donaldson, Neil. "Método de descenso de Fermat" (PDF) . math.uci.edu . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ Weil, André (1984), Teoría de números: una aproximación a través de la historia desde Hammurapi hasta Legendre , Birkhäuser , págs. 75–79, ISBN 0-8176-3141-0
- ^ Stephanie J. Morris, "El teorema de Pitágoras" , Departamento de Matemáticas. Ed., Universidad de Georgia .
- ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ..." , Nrich.org, noviembre de 2004.
- ^ Kurt von Fritz, "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus de Metapontum" , Annals of Mathematics, 1945.
- ^ Conway, John H .; Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Copérnico, p. 25
- ^ "La raíz cuadrada de 2 es irracional (Prueba 8)" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ Conrad, Keith (6 de agosto de 2008). "Descenso infinito" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
- ^ Sagher, Yoram (febrero de 1988), "What Pythagoras could have done", American Mathematical Monthly , 95 (2): 117, doi : 10.2307 / 2323064 , JSTOR 2323064
- ^ Dolan, Stan, "Método de descente infinie de Fermat ", Mathematical Gazette 95, julio de 2011, 269-271.
- ^ Grant, Mike y Perella, Malcolm, "Descender a lo irracional", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, págs. 263-267.
- ^ Barbara, Roy, "Último teorema de Fermat en el caso n = 4", Mathematical Gazette 91, julio de 2007, 260-262.
Otras lecturas
- Descenso infinito en PlanetMath .
- Ejemplo del último teorema de Fermat en PlanetMath .