En matemáticas , la serie de Mercator o la serie de Newton-Mercator es la serie de Taylor para el logaritmo natural :
Aproximación polinomial al logaritmo con n = 1, 2, 3 y 10 en el intervalo (0,2).
En notación de suma ,
La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) siempre que .
La serie fue descubierta de forma independiente por Johannes Hudde [1] e Isaac Newton . Fue publicado por primera vez por Nicholas Mercator , en su tratado de 1668 Logarithmotechnia .
La serie puede obtenerse a partir del teorema de Taylor , por inductivamente computar el n º derivado de a , empezando con
Alternativamente, se puede comenzar con la serie geométrica finita ()
lo que da
Resulta que
y por integración de términos,
Si , el término restante tiende a 0 cuando .
Esta expresión puede integrarse iterativamente k más veces para producir
dónde
y
son polinomios en x . [2]
Configuración en la serie Mercator produce la serie armónica alterna
La compleja serie de potencias
es la serie de Taylor para, donde log denota la rama principal del logaritmo complejo . Esta serie converge precisamente para todos los números complejos. De hecho, como se ve en la prueba de relación , tiene un radio de convergencia igual a 1, por lo tanto, converge absolutamente en cada disco B (0, r ) con radio r <1. Además, converge uniformemente en cada disco mordisqueado., con δ > 0. Esto se sigue inmediatamente de la identidad algebraica:
observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco unitario cerrado.