En la teoría de curvas planas algebraicas , una curva plana cuártica general tiene 28 líneas bitangentes , líneas que son tangentes a la curva en dos lugares. Estas líneas existen en el plano proyectivo complejo , pero es posible definir curvas cuárticas para las cuales las 28 líneas tienen números reales como coordenadas y, por lo tanto, pertenecen al plano euclidiano .
Un cuartico explícito con veintiocho bitangentes reales fue dado por primera vez por Plücker ( 1839 ) [1] Como mostró Plücker, el número de bitangentes reales de cualquier cuartico debe ser 28, 16 o un número menor que 9. Otro cuartico con 28 Los bitangentes pueden estar formados por el lugar geométrico de los centros de elipses con longitudes de eje fijas, tangentes a dos líneas no paralelas. [2] Shioda (1995) dio una construcción diferente de un cuartico con veintiocho bitangentes, formado proyectando una superficie cúbica ; veintisiete de los bitangentes de la curva de Shioda son reales, mientras que el vigésimo octavo es la línea en el infinito en el plano proyectivo.
Ejemplo
La curva de Trott , otra curva con 28 bitangentes reales, es el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación polinomial de cuatro grados.
Estos puntos forman una curva cuártica no singular que tiene género tres y que tiene veintiocho bitangentes reales . [3]
Al igual que los ejemplos de Plücker y de Blum y Guinand, la curva Trott ha cuatro óvalos separados, el número máximo para una curva de grado de cuatro, y por lo tanto es un M-curva . Los cuatro óvalos se pueden agrupar en seis pares diferentes de óvalos; por cada par de óvalos hay cuatro bitangentes que tocan ambos óvalos en el par, dos que separan los dos óvalos y dos que no lo hacen. Además, cada óvalo limita una región no convexa del plano y tiene un bitangente que abarca la parte no convexa de su límite.
Conexiones a otras estructuras
La curva dual a una curva cuártica tiene 28 puntos dobles ordinarios reales, duales a los 28 bitangentes de la curva primaria.
Los 28 bitangentes de un cuartico también se pueden colocar en correspondencia con los símbolos de la forma
donde una , b , c , d , e y f son todos cero o uno y donde
- ad + be + cf = 1 (mod 2). [4]
Hay 64 opciones para a , b , c , d , e y f , pero solo 28 de estas opciones producen una suma impar. Uno también puede interpretar un , b , y c como las coordenadas homogéneas de un punto del plano de Fano y d , e , y f como las coordenadas de una línea en el mismo plano proyectivo finito; la condición de que la suma sea impar equivale a exigir que el punto y la línea no se toquen, y hay 28 pares diferentes de un punto y una línea que no se tocan.
Los puntos y líneas del plano de Fano que están separados de un par punto-línea no incidente forman un triángulo, y los bitangentes de un cuártico se han considerado en correspondencia con los 28 triángulos del plano de Fano. [5] El gráfico de Levi del plano de Fano es el gráfico de Heawood , en el que los triángulos del plano de Fano están representados por 6 ciclos. Los 28 6 ciclos del gráfico de Heawood, a su vez, corresponden a los 28 vértices del gráfico de Coxeter . [6]
Los 28 bitangentes de un cuartico también corresponden a pares de las 56 líneas en una superficie del Pezzo de grado 2 , [5] ya las 28 características theta impares .
Las 27 líneas en el cúbico y los 28 bitangentes en un cuártico, junto con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica del género 4, forman una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , específicamente una forma de correspondencia McKay , [7 ] [8] [9] y puede estar relacionado con muchos otros objetos, incluidos E 7 y E 8 , como se discute en trinidades .
Notas
- ^ Véase, por ejemplo, Gray (1982) .
- ^ Blum y Guinand (1964) .
- ^ Trott (1997) .
- ↑ Riemann (1876) ; Cayley (1879) .
- ↑ a b Manivel (2006) .
- ^ Dejter, Italo J. (2011), "Del gráfico de Coxeter al gráfico de Klein", Journal of Graph Theory , 70 : 1–9, arXiv : 1002.1960 , doi : 10.1002 / jgt.20597.
- ^ le Bruyn, Lieven (17 de junio de 2008), trinidades de Arnold , archivado desde el original el 11 de abril de 2011
- ^ Arnold 1997, p. 13 - Arnold, Vladimir, 1997, Toronto Lectures, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities , junio de 1997 (última actualización en agosto de 1998). TeX , PostScript , PDF
- ^ ( McKay y Sebbar 2007 , p. 11)
Referencias
- Blum, R .; Guinand, AP (1964), "Un cuartico con 28 bitangentes reales" , Canadian Mathematical Bulletin , 7 (3): 399–404, doi : 10.4153 / cmb-1964-038-6.
- Cayley, Arthur (1879), "On the bitangents of a quartic", Curvas planas superiores de Salmon , págs. 387–389. En la recopilación de artículos matemáticos de Arthur Cayley , Andrew Russell Forsyth, ed., The University Press, 1896, vol. 11, págs. 221-223.
- Gray, Jeremy (1982), "De la historia de un grupo simple", The Mathematical Intelligencer , 4 (2): 59–67, doi : 10.1007 / BF03023483 , MR 0672918. Reimpreso en Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way , MSRI Publications, 35 , Cambridge University Press, págs. 115-131, ISBN 0-521-66066-1, MR 1722415.
- Manivel, L. (2006), "Configuraciones de líneas y modelos de álgebras de Lie", Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math / 0507118 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029.
- Plücker, J. (1839), Theorie der algebraischen Curven: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie , Berlín: Adolph Marcus.
- Riemann, GFB (1876), "Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall p = 3", Ges. Werke , Leipzig, págs. 456–472. Como lo cita Cayley.
- Shioda, Tetsuji (1995), "Transformaciones de Weierstrass y superficies cúbicas" (PDF) , Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109-128, MR 1336422[ enlace muerto permanente ] .
- Trott, Michael (1997), "Aplicación de GroebnerBasis a tres problemas de geometría", Mathematica en Educación e Investigación , 6 (1): 15-28.