Superficie del Pezzo

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En matemáticas , una superficie del Pezzo o superficie Fano es una variedad Fano bidimensional , en otras palabras, una superficie algebraica proyectiva no singular con amplia clase de divisor anticanónico . En cierto sentido, son lo opuesto a las superficies de tipo general , cuya clase canónica es grande.

Llevan el nombre de Pasquale del Pezzo que estudió las superficies con la condición más restrictiva de que tienen una clase divisoria anticanónica muy amplia, o en su lenguaje las superficies con un grado n incrustadas en un espacio proyectivo n- dimensional ( del Pezzo 1887 ), que son las superficies del Pezzo de grado al menos 3.

Clasificación [ editar ]

Una superficie del Pezzo es una superficie completa no singular con amplio haz anticanónico. Hay algunas variaciones de esta definición que a veces se utilizan. A veces se permite que las superficies del Pezzo tengan singularidades. Originalmente se asumió que estaban incrustados en el espacio proyectivo por la incrustación anticanónica, que restringe el grado a al menos 3.

El grado d de un del Pezzo superficie X es por definición el número de auto intersección ( K , K ) de su clase canónica K .

Cualquier curva en una superficie del Pezzo tiene un número de intersección propia al menos -1. El número de curvas con el número de auto-intersección -1 es finito y depende solo del grado (a menos que el grado sea 8).

Una curva (−1) es una curva racional con el número de intersección propia −1. Para d> 2 , la imagen de dicha curva en el espacio proyectivo debajo de la incrustación anti-canónica es una línea.

La purga de cualquier curva (-1) en una superficie del Pezzo es una superficie del Pezzo de grado 1 más. La explosión de cualquier punto en una superficie del Pezzo es una superficie del Pezzo de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre en una curva (−1) y el grado sea mayor que 2. Cuando el grado es 2, Hay que añadir la condición de que el punto no esté fijado por la involución de Geiser, asociada al morfismo anti-canónico.

Del Pezzo demostró que una superficie del Pezzo tiene un grado d como máximo 9. Sobre un campo algebraicamente cerrado, cada superficie del Pezzo es un producto de dos líneas proyectivas (con d = 8), o la explosión de un plano proyectivo en 9 - puntos d sin tres colineales, sin seis en una cónica y sin ocho de ellos en una cúbica que tenga un nodo en uno de ellos. Por el contrario, cualquier explosión del plano en puntos que satisfagan estas condiciones es una superficie del Pezzo.

El grupo Picard de una superficie del Pezzo de grado d es el retículo unimodular impar I _{1,9− d} , excepto cuando la superficie es un producto de 2 líneas cuando el grupo Picard es el retículo unimodular par II _1,1 . una celosía impar, el elemento canónico es (3, 1, 1, 1, ....), y las curvas excepcionales están representadas por permutaciones de todos menos la primera coordenada de los siguientes vectores:

(0, −1, 0, 0, ....) las curvas excepcionales de los puntos explotados,
(1, 1, 1, 0, 0, ...) líneas a través de 2 puntos,
(2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) cónicas a través de 5 puntos,
(3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) cúbicos a través de 7 puntos con un doble punto en uno de ellos,
(4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) cuarticos a través de 8 puntos con puntos dobles en tres de ellos,
(5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) quintics a través de 8 puntos con puntos dobles en todos menos dos de ellos,
(6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) sexticas a través de 8 puntos con puntos dobles en todos excepto un solo punto con multiplicidad tres.

Ejemplos [ editar ]

Grado 1: tienen 240 (−1) curvas correspondientes a las raíces de un sistema de raíces E ₈ . Forman una familia de 8 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio. El sistema lineal | −2 K | define un mapa de grado 2 desde la superficie del Pezzo hasta un cono cuadrático en P ³ , ramificado sobre una curva no singular del género 4 recortada por una superficie cúbica.

Grado 2: tienen 56 (−1) -curvas correspondientes a los minúsculos vectores del dual del retículo E ₇ . Forman una familia de 6 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio y su sistema lineal define un mapa desde la superficie del Pezzo hasta el plano proyectivo, ramificado sobre una curva plana cuártica . Este mapa es genéricamente 2 a 1, por lo que esta superficie a veces se denomina doble plano del Pezzo. Las 56 líneas de la superficie del Pezzo mapean en pares a los 28 bitangentes de un cuartico .

Grado 3: son esencialmente superficies cúbicas en P ³ ; la superficie cúbica es la imagen de la incrustación anticanónica. Tienen 27 (−1) curvas correspondientes a los minúsculos vectores de una clase lateral en el dual de la celosía E ₆ , que se asignan a las 27 líneas de la superficie cúbica. Forman una familia de 4 dimensiones.

Grado 4: son esencialmente superficies Segre en P ⁴ , dadas por la intersección de dos cuadrículas. Tienen 16 (−1) curvas. Forman una familia bidimensional.

Grado 5: tienen 10 (−1) -curvas correspondientes a los minúsculos vectores de una clase lateral en el dual de la celosía A ₄ . Hasta el isomorfismo solo existe una superficie de este tipo, dada por la explosión del plano proyectivo en 4 puntos sin 3 en una línea.

Grado 6: tienen 6 (−1) curvas. Hasta el isomorfismo solo existe una de esas superficies, dada por la explosión del plano proyectivo en 3 puntos, no en una línea. El sistema de raíces es A ₂ × A ₁

Grado 7: tienen 3 (−1) curvas. Hasta el isomorfismo solo existe una de esas superficies, dada por la explosión del plano proyectivo en 2 puntos distintos.

Grado 8: tienen 2 tipos de isomorfismos. Una es una superficie de Hirzebruch dada por el estallido del plano proyectivo en un punto, que tiene 1 (-1) curvas. El otro es producto de dos líneas proyectivas, que es la única superficie del Pezzo que no se puede obtener partiendo del plano proyectivo y voladura de puntos. Su grupo Picard es el retículo indefinido unimodular bidimensional par II _1,1 , y no contiene curvas (-1).

Grado 9: La única superficie del grado 9 del Pezzo es la P ² . Su incrustación anticanónica es la incrustación veronesa de grado 3 en P ⁹ utilizando el sistema lineal de cúbicos.

Superficies débiles del Pezzo [ editar ]

Una superficie del Pezzo débil es una superficie completa no singular con un haz anticanónico que es nef y grande.

La purga de cualquier curva (-1) en una superficie del Pezzo débil es una superficie del Pezzo débil de grado 1 más. La explosión de cualquier punto en una superficie del Pezzo débil es una superficie del Pezzo débil de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre en una curva -2 y el grado sea mayor que 1.

Cualquier curva en una superficie del Pezzo débil tiene un número de auto intersección al menos -2. El número de curvas con el número de intersección propia −2 es como máximo 9− d , y el número de curvas con el número de intersección propia −1 es finito.

Ver también [ editar ]

La misteriosa dualidad se refiere geometría de Del superficies Pezzo y M-teoría .
Superficie de Coble

Referencias [ editar ]

del Pezzo, Pasquale (1885), "Sulle superficie dell ordine n sumergir negli spazi di n + 1 dimensioni", Rend. Della R. Acc. Delle Scienze Fis. E Mat. Di Napoli
del Pezzo, Pasquale (1887), "Sulle superficie dell n ^no ordine sumerge nello spazio di n dimensioni", Rend. del circolo matematico di Palermo , 1 (1): 241–271, doi : 10.1007 / BF03020097
Dolgachev, Igor (2012), Geometría algebraica clásica. Una visión moderna , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8, MR 2964027
Kollár, János; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Variedades racionales y casi racionales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 92 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787
Manin, Yuri Ivanovich (1986), Formas cúbicas , Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional, 4 (2a ed.), Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 0833513
Nagata, Masayoshi (1960), "Sobre superficies racionales. I. Curvas irreductibles de género aritmético 0 o 1", Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. Una matemática. , 32 : 351–370, MR 0126443
Semple, JG; Roth, L. (1985), Introducción a la geometría algebraica , Publicaciones científicas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, MR 0814690