Sólido de revolución
En geometría , un sólido de revolución es una figura sólida obtenida al girar una curva plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución ) que se encuentra en el mismo plano. La superficie creada por esta revolución y que delimita el sólido es la superficie de revolución .
Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicado por el área de la figura ( segundo teorema del centroide de Pappus ).
Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea girando un segmento de línea (de longitud w ) alrededor de un eje (ubicado a r unidades de distancia), de modo que se encierra un volumen cilíndrico de π r 2 w unidades.
Dos métodos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el método del disco y el método de integración de la capa . Para aplicar estos métodos, lo más fácil es dibujar el gráfico en cuestión; identifique el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determine el volumen de una rebanada del sólido en forma de disco, con espesor δx , o una capa cilíndrica de ancho δx ; y luego encuentre la suma límite de estos volúmenes cuando δx se acerca a 0, un valor que se puede encontrar evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa intentando evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes diferentes de integración.
El método del disco se usa cuando el corte que se dibujó es perpendicular al eje de revolución; es decir, cuando se integra paralelamente al eje de revolución.
El volumen del sólido formado al rotar el área entre las curvas de f ( x ) y g ( x ) y las líneas x = a y x = b sobre el eje x está dado por
