En álgebra abstracta , un álgebra booleana o red booleana es una red distributiva complementada . Este tipo de estructura algebraica captura las propiedades esenciales tanto de las operaciones con conjuntos como de las operaciones lógicas . Un álgebra booleana puede verse como una generalización de un álgebra de conjuntos de potencia o un campo de conjuntos , o sus elementos pueden verse como valores de verdad generalizados . También es un caso especial de un álgebra de De Morgan y un álgebra de Kleene (con involución) .
Cada álgebra booleana da lugar a un anillo booleano , y viceversa, con la multiplicación de anillos correspondiente a la conjunción o encuentro ∧, y la suma de anillos a la disyunción exclusiva o diferencia simétrica (no disyunción ∨). Sin embargo, la teoría de los anillos booleanos tiene una asimetría inherente entre los dos operadores, mientras que los axiomas y teoremas del álgebra booleana expresan la simetría de la teoría descrita por el principio de dualidad . [1]
El término "álgebra booleana" honra a George Boole (1815–1864), un matemático inglés autodidacta. Introdujo el sistema algebraico inicialmente en un pequeño folleto, The Mathematical Analysis of Logic , publicado en 1847 en respuesta a una controversia pública en curso entre Augustus De Morgan y William Hamilton , y luego como un libro más sustancial, The Laws of Thought , publicado en 1854. La formulación de Boole difiere de la descrita anteriormente en algunos aspectos importantes. Por ejemplo, la conjunción y la disyunción en Boole no eran un par dual de operaciones. El álgebra booleana surgió en la década de 1860, en artículos escritos por William Jevons yCharles Sanders Pierce . La primera presentación sistemática del álgebra booleana y los retículos distributivos se debe a la Vorlesungen de 1890 de Ernst Schröder . El primer tratamiento extenso del álgebra booleana en inglés es el Álgebra universal de 1898 de AN Whitehead . El álgebra booleana como estructura algebraica axiomática en el sentido axiomático moderno comienza con un artículo de 1904 de Edward V. Huntington . El álgebra booleana llegó a la mayoría de edad como matemáticas serias con el trabajo de Marshall Stone en la década de 1930 y con la Teoría de entramado de 1940 de Garrett Birkhoff . En la década de 1960, Paul Cohen ,Dana Scott y otros encontraron resultados nuevos y profundos en la lógica matemática y la teoría axiomática de conjuntos utilizando ramificaciones del álgebra booleana, a saber, modelos forzados y de valores booleanos .
Un álgebra booleana es un sextuple que consta de un conjunto A , equipado con dos operaciones binarias ∧ (llamadas "encontrar" o "y"), ∨ (llamada "unir" o "o"), una operación unaria ¬ (llamada " complemento" o "no") y dos elementos 0 y 1 en A (llamados "inferior" y "superior", o elemento "menor" y "mayor", también denotados por los símbolos ⊥ y ⊤, respectivamente), tal que para todos los elementos a , b y c de A , se cumplen los siguientes axiomas : [2]
Tenga en cuenta, sin embargo, que la ley de absorción e incluso la ley de asociatividad pueden excluirse del conjunto de axiomas, ya que pueden derivarse de los otros axiomas (consulte Propiedades demostradas ).
Un álgebra booleana con un solo elemento se denomina álgebra booleana trivial o álgebra booleana degenerada . (En trabajos anteriores, algunos autores requerían que 0 y 1 fueran elementos distintos para excluir este caso). [ cita requerida ]