Teoría de Borel-de Siebenthal
En matemáticas , la teoría de Borel-de Siebenthal describe los subgrupos conectados cerrados de un grupo de Lie compacto que tienen rango máximo , es decir, contienen un toro máximo . Lleva el nombre de los matemáticos suizos Armand Borel y Jean de Siebenthal, quienes desarrollaron la teoría en 1949. Cada subgrupo es el componente de identidad del centralizador de su centro. Se pueden describir recursivamente en términos del sistema raíz asociado del grupo. Los subgrupos para los cuales el espacio homogéneo correspondiente tiene una estructura compleja invariante corresponden a subgrupos parabólicos en elcomplejización del grupo compacto de Lie, un grupo algebraico reductivo .
Sea G un grupo de Lie compacto conexo con toro máximo T . Hopf mostró que el centralizador de un toroide S ⊆ T es un subgrupo cerrado conectado que contiene a T , por lo tanto de rango máximo . De hecho, si x está en C G ( S ), hay un toro máximo que contiene tanto a S como a x y está contenido en C G ( S ). [1]
Borel y de Siebenthal demostraron que los subgrupos cerrados conectados de rango máximo son precisamente los componentes de identidad de los centralizadores de sus centros. [2]
Su resultado se basa en un hecho de la teoría de la representación. Los pesos de una representación irreducible de un grupo K semisimple compacto conexo con mayor peso λ se pueden describir fácilmente (sin sus multiplicidades): son precisamente la saturación bajo el grupo de Weyl de los pesos dominantes obtenidos al restar una suma de raíces simples de λ. En particular, si la representación irreducible es trivial en el centro de K (un grupo abeliano finito), 0 es un peso. [3]
Para probar la caracterización de Borel y de Siebenthal, sea H un subgrupo conexo cerrado de G que contiene a T con centro Z. El componente de identidad L de C G (Z) contiene H . Si fuera estrictamente mayor, la restricción de la representación adjunta de L a H sería trivial en Z. Cualquier sumando irreducible, ortogonal al álgebra de Lie de H , proporcionaría vectores de peso cero distintos de cero para T / Z ⊆ H / Z , contradiciendo la maximalidad del toroT / Z en L / Z . [4]
Borel y de Siebenthal clasificaron los subgrupos conexos cerrados máximos de rango máximo de un grupo de Lie compacto conexo.
