Este es un glosario de la terminología aplicada en las teorías matemáticas de grupos de Lie y álgebras de Lie . Para los temas de la teoría de representación de grupos de Lie y álgebras de Lie, consulte Glosario de teoría de representación . Debido a la falta de otras opciones, el glosario también incluye algunas generalizaciones como grupo cuántico .
Anotaciones :
A
- abeliano
- 1. Un grupo de Lie abeliano es un grupo de Lie que es un grupo abeliano.
- 2. Un álgebra de Lie abeliana es un álgebra de Lie tal que para cada en el álgebra.
- adjunto
- 1. Una representación adjunta de un grupo de Lie :
- tal que es el diferencial en el elemento de identidad de la conjugación .
- dónde .
B
- B
- 1. (B, N) par
- Borel
- 1. Armand Borel (1923 - 2003), matemático suizo
- 2. Un subgrupo de Borel .
- 3. Una subálgebra de Borel es una subálgebra resoluble máxima.
- 4. Teorema de Borel-Bott-Weil
- Bruhat
- 1. Descomposición de Bruhat
C
- Cartan
- 1. Élie Cartan (1869-1951), matemático francés
- 2. Una subálgebra de Cartan de un álgebra de mentira es una subálgebra nilpotente que satisface .
- 3. Criterio de Cartan para la capacidad de solución : un álgebra de Lie es solucionable si.
- 4. Criterio de Cartan para semisimplicidad : (1) Si es no degenerado, entonces es semisimple. (2) Si es semisimple y el campo subyacente tiene la característica 0, entonces es no degenerado.
- 5. La matriz de Cartan del sistema radicular es la matriz , dónde es un conjunto de raíces simples de .
- 6. Subgrupo de Cartan
- 7. Descomposición de Cartan
- Casimiro
- Invariable de Casimir , un elemento distinguido de un álgebra envolvente universal.
- Coeficientes de Clebsch-Gordan
- Coeficientes de Clebsch-Gordan
- centrar
- 2. El centralizador de un subconjunto de un álgebra de mentira es .
- centrar
- 1. El centro de un grupo de Lie es el centro del grupo.
- 2. El centro de un álgebra de Lie es el centralizador de sí mismo:
- serie central
- 1. Una serie central descendente (o serie central inferior) es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie definido por
- 2. Una serie central ascendente (o serie central superior) es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie definido por (centro de L), , dónde es el homomorfismo natural
- Chevalley
- 1. Claude Chevalley ( 1909-1984 ), matemático francés
- 2. Una base de Chevalley es una base construida por Claude Chevalley con la propiedad de que todas las constantes de estructura son números enteros. Chevalley usó estas bases para construir análogos de grupos de Lie sobre campos finitos , llamados grupos de Chevalley .
- grupo de reflexión complejo
- grupo de reflexión complejo
- coroot
- coroot
- Coxeter
- 1. HSM Coxeter (1907 - 2003), un geómetra canadiense nacido en Gran Bretaña
- 2. Grupo Coxeter
- 3. Número de Coxeter
D
- álgebra derivada
- 1. El álgebra derivada de un álgebra de Lie es . Es una subálgebra (de hecho, un ideal).
- 2. Una serie derivada es una secuencia de ideales de un álgebra de Lie. obtenido tomando repetidamente álgebras derivadas; es decir, .
- Dynkin
- 1. Eugene Borisovich Dynkin (1924 - 2014), matemático soviético y estadounidense
- 2. Diagramas de Dynkin .Diagramas Dynkin
mi
- extensión
- Una secuencia exacta o se llama una extensión del álgebra de Lie de por .
- mapa exponencial
- El mapa exponencial para un grupo de Lie G con es un mapa que no es necesariamente un homomorfismo pero satisface una cierta propiedad universal.
- exponencial
- E6 , E7 , E7½ , E8 , En , álgebra de Lie excepcional
F
- álgebra de mentira libre
- F
- F4
- fundamental
- Para la " cámara de Weyl fundamental ", consulte #Weyl .
GRAMO
- GRAMO
- G2
- generalizado
- 1. Para " Matriz de Cartan generalizada ", consulte #Cartan .
- 2. Para " Álgebra generalizada de Kac-Moody ", vea # Kac-Álgebra de Moody .
- 3. Para el " Módulo Verma generalizado ", consulte #Verma .
H
- homomorfismo
- 1. Un homomorfismo de grupo de Lie es un homomorfismo de grupo que también es un mapa uniforme.
- 2. Un homomorfismo del álgebra de Lie es un mapa lineal tal que
- Harish-Chandra
- 1. Harish-Chandra , (1923-1983), matemático y físico indio americano
- 2. Homomorfismo de Harish-Chandra
- mas alto
- 1. El teorema de mayor peso , que indica los pesos más altos, clasifica las representaciones irreductibles.
- 2. peso más alto
- 3. módulo de mayor peso
I
- ideal
- Un ideal de un álgebra de mentira es un subespacio tal que A diferencia de la teoría del anillo, no se puede distinguir entre el ideal de izquierda y el ideal de derecha.
- índice
- Índice de un álgebra de mentira
- cono convexo invariante
- Un cono convexo invariante es un cono convexo cerrado en el álgebra de Lie de un grupo de Lie conectado que es invariante bajo automorfismos internos.
- Descomposición de Iwasawa
- Descomposición de Iwasawa
J
- Identidad Jacobi
- 1. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), matemático alemán.Carl Gustav Jacob Jacobi
- 2. Dada una operación binaria , la identidad de Jacobi establece: [[ x , y ], z ] + [[ y , z ], x ] + [[ z , x ], y ] = 0.
K
- Álgebra de Kac-Moody
- Álgebra de Kac-Moody
- Asesinato
- 1. Wilhelm Killing (1847 - 1923), matemático alemán.
- 2. La forma de matar en un álgebra de Lie es una forma simétrica, asociativa y bilineal definida por .
- Kirillov
- Fórmula del carácter de Kirillov
L
- Langlands
- Descomposición de Langlands
- Langlands dual
- Mentir
- 1. Sophus Lie (1842-1899), matemático noruegoSophus Lie
- 2. Un grupo de Lie es un grupo que tiene una estructura compatible de una variedad suave.
- 3. Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre un campo con una operación binaria [·, ·] (llamado el soporte de la mentira o abbr. soporte ), que satisface las siguientes condiciones: ,
- ( bilinealidad )
- ( alternando )
- ( Identidad Jacobi )
- Dejar Ser un álgebra de Lie compleja de dimensión finita con solución sobre un campo de características algebraicamente cerrado, y deja ser una representación dimensional finita distinta de cero de . Entonces existe un elemento de que es un vector propio simultáneo para todos los elementos de .
norte
- nilpotente
- 1. Un grupo de mentiras nilpotente .
- 2. Un álgebra de Lie nilpotente es un álgebra de Lie nilpotente como ideal; es decir, algo de potencia es cero: .
- 3. Un elemento nilpotente de un álgebra de Lie semisimple [1] es un elemento x tal que el endomorfismo adjunto es un endomorfismo nilpotente.
- 4. Un cono nilpotente
- normalizador
- El normalizador de un subespacio de un álgebra de mentira es .
METRO
- máximo
- 1. Para el " subgrupo compacto máximo ", consulte #compact .
- 2. Para " toro máximo ", consulte #toro .
PAG
- parabólico
- 1. Subgrupo parabólico .
- 2. Subálgebra parabólica .
- positivo
- Para " raíz positiva ", consulte #positivo .
Q
- cuántico
- grupo cuántico .
- cuantificado
- álgebra envolvente cuantizada .
R
- radical
- 1. El radical de un grupo de Lie .
- 2. El radical de un álgebra de Lie es el ideal resoluble más grande (es decir, máximo único) de .
- verdadero
- forma real .
- reduccionista
- 1. Un grupo reductor .
- 2. Un álgebra de mentira reductiva .
- reflexión
- Un grupo de reflexión , un grupo generado por reflexiones.
- regular
- 1. Un elemento regular de un álgebra de Lie .
- 2. Un elemento regular con respecto a un sistema de raíces.
- Dejar ser un sistema raíz. se llama regular si .
- Para cada conjunto de raíces simples de , existe un elemento regular tal que , a la inversa para cada regular existe un conjunto único de raíces base de tal manera que la condición anterior es válida para . Se puede determinar de la siguiente manera: deje . Llamar a un elemento de descomponible si dónde , luego es el conjunto de todos los elementos indecomponibles de
- Dejar ser un álgebra de mentira semisimple, ser una subálgebra de Cartan de . Para , dejar . se llama raíz de si es distinto de cero y
- El conjunto de todas las raíces se denota por ; forma un sistema de raíces.
- Un subconjunto del espacio euclidiano se denomina sistema raíz si cumple las siguientes condiciones:
- es finito, y .
- Para todos y , si .
- Para todos , es un número entero.
- Para todos , , dónde ¿Es el reflejo a través del hiperplano normal a , es decir .
- es de nuevo un sistema de raíces y tiene el mismo grupo Weyl como .
S
- Serre
- El teorema de Serre establece que, dado un sistema de raíces (reducido finito) , existe un álgebra de Lie semisimple única (hasta la elección de una base) cuyo sistema de raíces es .
- sencillo
- 1. Un grupo de Lie simple es un grupo de Lie conectado que no es abeliano y que no tiene subgrupos normales conectados no triviales.
- 2. Un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie que no es abeliana y tiene solo dos ideales, ella misma y .
- 3. grupo simplemente entrelazado (un grupo simple de Lie está simplemente entrelazado cuando su diagrama de Dynkin no tiene múltiples aristas).
- 4. raíz simple . Un subconjunto de un sistema raíz se denomina conjunto de raíces simples si cumple las siguientes condiciones:
- es una base lineal de .
- Cada elemento de es una combinación lineal de elementos de con coeficientes que son todos no negativos o todos no positivos.
Álgebras de mentira clásicas :
Álgebra lineal especial | ( matrices sin trazas) | ||
Álgebra ortogonal | |||
Álgebra simpléctica | |||
Álgebra ortogonal |
Álgebras de Lie excepcionales :
Sistema raíz | dimensión |
---|---|
G 2 | 14 |
F 4 | 52 |
E 6 | 78 |
E 7 | 133 |
E 8 | 248 |
T
- Tetas
- Cono de tetas .
- toral
- 1. álgebra de Lie toral
- 2. subálgebra toral máxima
U
- Truco unitario
V
- Módulo Verma
W
Referencias
- ^ Nota editorial: la definición de un elemento nilpotente en un álgebra de Lie general parece poco clara.
- Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie , Éléments de Mathématique, Hermann
- Erdmann, Karin y Wildon, Mark. Introducción a las álgebras de mentira , 1a edición, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
- Humphreys, James E. Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , segunda impresión, revisada. Textos de Posgrado en Matemáticas, 9. Springer-Verlag, Nueva York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
- Jacobson, Nathan , álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Kac, Víctor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46693-8.
- Claudio Procesi (2007) Lie Groups: un acercamiento a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402 .
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.
- J.-P. Serre, "Álgebras de Lie y grupos de Lie", Benjamin (1965) (Traducido del francés)