Conjetura de Borel

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la conjetura de Borel (llamada así por Armand Borel ) afirma que una variedad cerrada asférica está determinada por su grupo fundamental , hasta el homeomorfismo . Es una conjetura de rigidez , afirmando que una noción algebraica débil de equivalencia (es decir, equivalencia de homotopía ) debería implicar una noción topológica más fuerte (es decir, homeomorfismo).

Hay una conjetura de Borel diferente (llamada así por Émile Borel ) en la teoría de conjuntos. Afirma que todo conjunto cero de medidas fuertes de reales es contable. El trabajo de Nikolai Luzin y Richard Laver muestra que esta conjetura es independiente de los axiomas ZFC . Este artículo trata sobre la conjetura de Borel en topología geométrica.

Formulación precisa de la conjetura

Dejar ${\ Displaystyle M}$ y ${\ Displaystyle N}$ ser cerradas y asféricas topológicos colectores , y dejar

{\ Displaystyle f \ dos puntos M \ a N}

ser una equivalencia de homotopía . La conjetura de Borel establece que el mapa ${\ Displaystyle f}$ es homotópico de un homeomorfismo . Dado que las variedades asféricas con grupos fundamentales isomórficos son equivalentes de homotopía, la conjetura de Borel implica que las variedades cerradas asféricas están determinadas, hasta el homeomorfismo, por sus grupos fundamentales.

Esta conjetura es falsa si las variedades topológicas y los homeomorfismos se reemplazan por las variedades suaves y los difeomorfismos ; Se pueden construir contraejemplos tomando una suma conectada con una esfera exótica .

El origen de la conjetura

En una carta de mayo de 1953 a Jean-Pierre Serre , ^[1] Armand Borel planteó la cuestión de si dos variedades asféricas con grupos fundamentales isomorfos son homeomorfas. Una respuesta positiva a la pregunta " ¿Es toda equivalencia de homotopía entre variedades asféricas cerradas homotópicas a un homeomorfismo? " Se conoce como la "llamada conjetura de Borel" en un artículo de 1986 de Jonathan Rosenberg . ^[2]

Motivación de la conjetura

Una pregunta básica es la siguiente: si dos variedades cerradas son homotópicas equivalentes, ¿son homeomórficas? Esto no es cierto en general: hay espacios de lentes equivalentes a homotopía que no son homeomórficos.

Sin embargo, hay clases de variedades para las que las equivalencias de homotopía entre ellas pueden homotoparse con homeomorfismos. Por ejemplo, el teorema de rigidez de Mostow establece que una equivalencia de homotopía entre variedades hiperbólicas cerradas es homotópica a una isometría, en particular, a un homeomorfismo. La conjetura de Borel es una reformulación topológica de la rigidez de Mostow, debilitando la hipótesis de variedades hiperbólicas a variedades asféricas, y debilitando de manera similar la conclusión de una isometría a un homeomorfismo.

Relación con otras conjeturas

La conjetura de Borel implica la conjetura de Novikov para el caso especial en el que el mapa de referencia ${\ Displaystyle f \ colon M \ to BG}$ es una equivalencia de homotopía.
La conjetura de Poincaré afirma que una homotopía múltiple cerrada equivalente a ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ , la 3-esfera , es homeomorfa para ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ . Este no es un caso especial de la conjetura de Borel, porque ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ no es asférico. Sin embargo, la conjetura de Borel para el 3-toro ${\ Displaystyle T ^ {3} = S ^ {1} \ times S ^ {1} \ times S ^ {1}}$ implica la conjetura de Poincaré para ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ .

Referencias

↑ Extracto de una carta de Armand Borel a Jean-Pierre Serre (2 de mayo de 1953). "El nacimiento de la conjetura de Borel" (PDF) .
^ Rosenberg, Jonathan (1986). "C ∗ -álgebras, curvatura escalar positiva y la conjetura de Novikov. III" . Topología . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016 / 0040-9383 (86) 90047-9 . Señor 0842428 .

F. Thomas Farrell , La conjetura de Borel. Topología de variedades de alta dimensión, núm. 1, 2 (Trieste, 2001), 225–298, ICTP Lect. Notas, 9, Abdus Salam Int. Centavo. Theoret. Phys., Trieste, 2002.
Matthias Kreck y Wolfgang Lück , La conjetura de Novikov. Geometría y álgebra. Seminarios de Oberwolfach, 33. Birkhäuser Verlag, Basilea, 2005.

[1] Extracto de una carta de Armand Borel a Jean-Pierre Serre (2 de mayo de 1953). "El nacimiento de la conjetura de Borel" (PDF) .

[2] Rosenberg, Jonathan (1986). "C ∗ -álgebras, curvatura escalar positiva y la conjetura de Novikov. III" . Topología . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016 / 0040-9383 (86) 90047-9 . Señor 0842428 .

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