En matemáticas , los corchetes de varias formas tipográficas, como paréntesis (), corchetes [], llaves {} y corchetes angulares ⟨⟩, se utilizan con frecuencia en la notación matemática . [1] Por lo general, dicho corchete denota alguna forma de agrupación: al evaluar una expresión que contiene una subexpresión entre corchetes, los operadores de la subexpresión tienen prioridad sobre los que la rodean. Además, existen varios usos y significados para los distintos corchetes. [2]
Históricamente, otras notaciones, como el vinculum , se usaron de manera similar para agrupar. En el uso actual, todas estas notaciones tienen significados específicos. El primer uso de corchetes para indicar agregación (es decir, agrupación) fue sugerido en 1608 por Christopher Clavius , y en 1629 por Albert Girard . [3]
Símbolos para representar corchetes angulares
Se utilizan diversos símbolos para representar los corchetes angulares. En el correo electrónico y otros textos ASCII , es común usar los signos menor que ( <
) y mayor que ( >
) para representar corchetes angulares, porque ASCII no incluye corchetes angulares. [4]
Unicode tiene pares de caracteres dedicados; distintos de los símbolos menor que y mayor que, estos incluyen:
- U + 27E8 ⟨SOPORTE DE ÁNGULO IZQUIERDO MATEMÁTICO yU + 27E9⟩ SOPORTE MATEMÁTICO DE ÁNGULO DERECHO
- U + 29FC ⧼SOPORTE DE ÁNGULO CURVO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA yU + 29FD⧽ SOPORTE DE ÁNGULO CURVO A LA DERECHA
- U + 2991 ⦑SOPORTE DE ÁNGULO IZQUIERDO CON PUNTO yU + 2992⦒ SOPORTE DE ÁNGULO RECTO CON PUNTO
- U + 27EA « MATEMÁTICO por partida doble ángulo del soporte yU + 27EB » adecuados matemáticos DOBLE ángulo del soporte
- U + 2329 〈 SOPORTE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA yU + 232A 〉 SOPORTE DE ÁNGULO QUE APUNTA A LA DERECHA , que están en desuso [5]
En LaTeX, el marcado es \langle
y \rangle
:.
Los corchetes angulares no matemáticos incluyen:
- U + 3008 〈 SOPORTE DE ÁNGULO IZQUIERDO yU + 3009 〉 SOPORTE DE ÁNGULO DERECHO , utilizado en citas de texto de Asia oriental
- U + 276C ❬ ORNAMENTO DE SOPORTE DE ÁNGULO MEDIANO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA yU + 276D ❭ ORNAMENTO DE SOPORTE DE ÁNGULO MEDIANO QUE APUNTA A LA DERECHA , que son dingbats
Hay dingbats adicionales con mayor grosor de línea, [6] y algunas comillas angulares y caracteres obsoletos.
Álgebra
En álgebra elemental , los paréntesis () se utilizan para especificar el orden de las operaciones . [2] Los términos dentro del paréntesis se evalúan primero; por tanto, 2 × (3 + 4) es 14, 20 ÷ (5 (1 + 1)) es 2 y (2 × 3) + 4 es 10. Esta notación se amplía para cubrir un álgebra más general que involucra variables: por ejemplo ( x + y ) × ( x - y ) . Los corchetes también se utilizan a menudo en lugar de un segundo par de paréntesis cuando están anidados, para proporcionar una distinción visual.
En las expresiones matemáticas en general, los paréntesis también se utilizan para indicar agrupaciones (es decir, qué partes van juntas) cuando es necesario para evitar ambigüedades y mejorar la claridad. Por ejemplo, en la fórmula, utilizado en la definición de composición de dos transformaciones naturales , los paréntesis alrededor sirven para indicar que la indexación por se aplica a la composición , y no solo su último componente .
Funciones
Los argumentos de una función suelen estar entre corchetes:. Cuando hay pocas posibilidades de ambigüedad, es común omitir por completo los paréntesis alrededor del argumento (p. Ej.,).
Coordenadas y vectores
En el sistema de coordenadas cartesianas , los corchetes se utilizan para especificar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, (2,3) denota el punto con la coordenada x 2 y la coordenada y 3.
El producto interno de dos vectores se escribe comúnmente como, [1] pero también se utiliza la notación ( a , b ).
Intervalos
Ambos paréntesis, () y corchetes, [], también se pueden usar para denotar un intervalo . [1] La notación se utiliza para indicar un intervalo de a a c que incluye —Pero exclusivo de . Es decir,sería el conjunto de todos los números reales entre 5 y 12, incluido el 5 pero no el 12. Aquí, los números pueden acercarse tanto como quieran al 12, incluido el 11,999 y así sucesivamente (con cualquier número finito de 9), pero 12,0 es no incluido.
En algunos países europeos, la notación también se usa para esto, y siempre que se use una coma como separador decimal , el punto y coma se puede usar como separador para evitar ambigüedad (por ejemplo,). [7]
El extremo contiguo al corchete se conoce como cerrado , mientras que el extremo contiguo al paréntesis se conoce como abierto . Si ambos tipos de corchetes son iguales, el intervalo completo puede denominarse cerrado o abierto, según corresponda. Siempre que se utiliza infinito o infinito negativo como punto final (en el caso de intervalos en la recta numérica real ), siempre se considera abierto y adjunto a un paréntesis. El punto final se puede cerrar al considerar intervalos en la recta numérica real extendida .
Una convención común en matemáticas discretas es definir como el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que . Es decir, correspondería al conjunto .
Conjuntos y grupos
Las llaves {} se utilizan para identificar los elementos de un conjunto . Por ejemplo, { a , b , c } denota un conjunto de tres elementos de un , b y c .
Los corchetes angulares ⟨⟩ se utilizan en teoría de grupos y álgebra conmutativa para especificar presentaciones grupales y para denotar el subgrupo [8] o ideal generado por una colección de elementos.
Matrices
Una matriz dada explícitamente se escribe comúnmente entre corchetes o corchetes grandes:
Derivados
La notación
representa la n -ésima derivada de la función f , aplicada al argumento x . Entonces, por ejemplo, si, luego . Esto debe contrastarse con, la aplicación n- veces de f al argumento x .
Factorial descendente y ascendente
La notación se utiliza para denotar el factorial descendente , un polinomio de n -ésimo grado definido por
Alternativamente, se puede encontrar la misma notación que representa el factorial ascendente , también llamado " símbolo de Pochhammer ". Otra notación para lo mismo es. Puede ser definido por
Mecánica cuántica
En mecánica cuántica , los corchetes angulares también se utilizan como parte del formalismo de Dirac , notación bra-ket , para denotar los vectores de los espacios duales del sujetador. y el ket .
En mecánica estadística , los paréntesis angulares denotan conjunto o promedio de tiempo.
Anillos polinomiales
Los corchetes se utilizan para contener la (s) variable (s) en anillos polinomiales . Por ejemplo,es el anillo de polinomios con coeficientes de números reales y variable. [9] [8]
Subring generado por un elemento o colección de elementos
Si A es un subanillo de un anillo B , y b es un elemento de B , entonces A [ b ] denota el subanillo de B generado por A y b . Este subanillo está formado por todos los elementos que se pueden obtener, a partir de los elementos de A y b , mediante sumas y multiplicaciones repetidas; de manera equivalente, es el subanillo más pequeño de B que contiene A y b . Por ejemplo,es el subanillo más pequeño de C que contiene todos los enteros y; consta de todos los números de la forma, Donde m y n son números enteros arbitrarios. Otro ejemplo:es el subanillo de Q que consta de todos los números racionales cuyo denominador es una potencia de 2 .
De manera más general, si A es un subanillo de un anillo B , y, luego denota el subanillo de B generado por A y. Incluso de manera más general, si S es un subconjunto de B , entonces A [ S ] es el subanillo de B generada por A y S .
Soporte de mentira y conmutador
En teoría de grupos y teoría de anillos , se utilizan corchetes para indicar el conmutador . En teoría de grupos, el conmutador [ g , h ] se define comúnmente como g −1 h −1 gh . En la teoría de anillos, el conmutador [ a , b ] se define como ab - ba . Además, se pueden usar llaves para denotar el anticonmutador : { a , b } se define como ab + ba .
El corchete de Lie de un álgebra de Lie es una operación binaria denotada por. Al usar el conmutador como un corchete de Lie, cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de Lie. Hay muchas formas diferentes de paréntesis de Lie , en particular la derivada de Lie y el paréntesis de Jacobi-Lie .
Funciones de suelo / techo y parte fraccionada
Los corchetes, como en [ π ] = 3 , a veces se usan para denotar la función de piso , [8] que redondea un número real hacia abajo al siguiente entero. Respectivamente, algunos autores usan corchetes que apuntan hacia afuera para denotar la función de techo, como en ] π [= 4 . Sin embargo, las funciones de piso y techo generalmente se componen con corchetes izquierdo y derecho donde solo se muestran las barras horizontales inferior (para función de piso) o superior (para función de techo), como en ⌊π⌋ = 3 o ⌈π⌉ = 4 .
Braces, como en {π} < 1 / 7 , puede denotar la parte fraccionaria de un número real.
Ver también
- Coeficiente binomial
- Polinomio de soporte
- Notación bra-ket
- Delimitador
- Lenguaje Dyck
- Soporte Frölicher – Nijenhuis
- Soporte Iverson
- Corchete Nijenhuis-Richardson , también conocido como corchete algebraico .
- Símbolo de martillo
- Soporte de Poisson
- Soporte Schouten – Nijenhuis
Notas
- ^ a b c "Compendio de símbolos matemáticos: delimitadores" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
- ^ a b Russell, Deb. "Cuándo y dónde usar paréntesis, llaves y corchetes en matemáticas" . ThoughtCo . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
- ^ Cajori , Florian 1980. Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea Publishing, p. 158
- ^ Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary , MIT Press, pág. 41, ISBN 9780262680929.
- ^ "Técnicas misceláneas" (PDF) . unicode.org.
- ^ "Dingbats" . unicode.org . 2020-04-25 . Consultado el 25 de abril de 2020 .
- ^ "Notación de intervalo | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
- ^ a b c "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
- ^ Stewart, Ian (1995). Conceptos de Matemática Moderna . Publicaciones de Dover. pag. 90. ISBN 9780486284248.