En la teoría de curvas algebraicas , la teoría de Brill-Noether , introducida por Alexander von Brill y Max Noether ( 1874 ), es el estudio de divisores especiales , ciertos divisores en una curva C que determinan funciones más compatibles de las que se podrían predecir. En el lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven en la curva en un sistema lineal de divisores "más grande de lo esperado" .
La condición para ser un divisor especial D puede formularse en cohomología gavilla términos, como el que no desaparece de la H 1 cohomology de la gavilla de las secciones de la gavilla invertible o línea de haz asociada a D . Esto significa que, según el teorema de Riemann-Roch , la cohomología H 0 o el espacio de las secciones holomórficas es mayor de lo esperado.
Alternativamente, por dualidad de Serre , la condición es que existan diferenciales holomórficos con divisor ≥ - D en la curva.
Teoremas principales de la teoría de Brill-Noether
Para un género g dado , el espacio de módulos para las curvas C del género g debe contener un subconjunto denso que parametrice esas curvas con el mínimo en forma de divisores especiales. Uno de los objetivos de la teoría es 'contar constantes', para esas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (hasta la equivalencia lineal ) de un grado dado d , en función de g , que debe estar presente en un curva de ese género.
El enunciado básico se puede formular en términos de la variedad Picard Pic ( C ) de una curva suave C , y el subconjunto de Pic ( C ) correspondiente a las clases de divisores de los divisores D , con valores dados d de grados ( D ) y r de l ( D ) - 1 en la notación del teorema de Riemann-Roch . Hay un límite inferior ρ para la dimensión dim ( d , r , g ) de este subesquema en Pic ( C ):
- tenue ( d , r , g ) ≥ ρ = g - (r + 1) (g - d + r)
llamado el número Brill-Noether . Para curvas suaves C y para d ≥1, r ≥0 los resultados básicos sobre el espacio Gr
dde sistemas lineales en C de grado d y dimensión r son los siguientes.
- George Kempf demostró que si ρ≥0 entonces Gr
d no está vacío y cada componente tiene una dimensión de al menos ρ. - William Fulton y Robert Lazarsfeld demostraron que si ρ≥1 entonces Gr
d está conectado. - Griffiths y Harris (1980) demostraron que si C es genérico, entonces Gr
dse reduce y todos los componentes tienen una dimensión exactamente ρ (por lo que, en particular, Gr
d está vacío si ρ <0). - David Gieseker demostró que si C es genérico, entonces Gr
des suave. Por el resultado de conectividad, esto implica que es irreducible si ρ > 0.
Referencias
- Barbon, Andrea (2014). Teoría Algebraica Brill-Noether (PDF) (Tesis de Maestría). Universidad Radboud Nijmegen.
- Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Philip A .; Harris, Joe (1985). "Los resultados básicos de la teoría de Brill-Noether". Geometría de curvas algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. Volumen I. págs. 203–224. doi : 10.1007 / 978-1-4757-5323-3_5 . ISBN 0-387-90997-4.
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tiene texto extra ( ayuda ) - von Brill, Alexander; Noether, Max (1874). "Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie" . Mathematische Annalen . 7 (2): 269–316. doi : 10.1007 / BF02104804 . JFM 06.0251.01 . Consultado el 22 de agosto de 2009 .
- Griffiths, Phillip; Harris, José (1980). "Sobre la variedad de sistemas lineales especiales sobre una curva algebraica general". Diario de matemáticas de Duke . 47 (1): 233–272. doi : 10.1215 / s0012-7094-80-04717-1 . Señor 0563378 .
- Philip A. Griffiths ; Joe Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 245. ISBN 978-0-471-05059-9.