En matemáticas , la curva de Bring (también llamada superficie de Bring ) es la curva dada por las ecuaciones
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Fue nombrado por Klein (2003 , p.157) después Erland Samuel Llevar quien estudió una construcción similar en 1786 en un Promotionschrift presentado a la Universidad de Lund .
El grupo de automorfismo de la curva es el grupo simétrico S 5 de orden 120, dado por permutaciones de las 5 coordenadas. Este es el grupo de automorfismos más grande posible de una curva compleja del género 4.
La curva se puede realizar como una triple cubierta de la esfera ramificada en 12 puntos, y es la superficie de Riemann asociada al pequeño dodecaedro estrellado . Tiene género 4. El grupo completo de simetrías (incluidos los reflejos) es el producto directo, que tiene orden 240.
Dominio fundamental y sístole
La curva de Bring se puede obtener como una superficie de Riemann asociando lados de un icoságono hiperbólico (ver polígono fundamental ). El patrón de identificación se da en el diagrama adjunto. El icoságono (de área, según el teorema de Gauss-Bonnet ) se puede teselar con 240 (2,4,5) triángulos. Las acciones que transportan uno de estos triángulos a otro dan el grupo completo de automorfismos de la superficie (incluidos los reflejos). Descontando los reflejos, obtenemos los 120 automorfismos mencionados en la introducción. Tenga en cuenta que 120 es menor que 252, el número máximo de automorfismos que conservan la orientación permitidos para una superficie del género 4, según el teorema del automorfismo de Hurwitz . Por lo tanto, la superficie de Bring no es una superficie de Hurwitz . Esto también nos dice que no existe una superficie de Hurwitz del género 4.
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El grupo completo de simetrías tiene la siguiente presentación:
- ,
dónde es la acción de identidad, es una rotación de orden 5 alrededor del centro del polígono fundamental, es una rotación de orden 2 en el vértice donde 4 (2,4,5) triángulos se encuentran en la teselación, y es reflejo en la línea real. A partir de esta presentación, la información sobre la teoría de la representación lineal del grupo de simetría de la superficie de Bring se puede calcular utilizando GAP . En particular, el grupo tiene cuatro representaciones irreductibles de 1 dimensión, cuatro de 4 dimensiones, cuatro de 5 dimensiones y dos de 6 dimensiones, y tenemos
como se esperaba.
La sístole de la superficie tiene longitud
De manera similar al cuartico de Klein , la superficie de Bring no maximiza la longitud de la sístole entre las superficies compactas de Riemann en su categoría topológica (es decir, superficies que tienen el mismo género) a pesar de maximizar el tamaño del grupo de automorfismos. La sístole es presumiblemente maximizada por la superficie referida a un M4 en ( Schmutz 1993 ). La longitud de la sístole de M4 es
y tiene multiplicidad 36.
Teoría espectral
Se sabe poco sobre la teoría espectral de la superficie de Bring, sin embargo, podría ser potencialmente de interés en este campo. La superficie de Bolza y el cuartico de Klein tienen los grupos de simetría más grandes entre las superficies compactas de Riemann de curvatura negativa constante en los géneros 2 y 3 respectivamente, y por lo tanto se ha conjeturado que maximizan el primer valor propio positivo en el espectro de Laplace. Existe una fuerte evidencia numérica para apoyar esta hipótesis, particularmente en el caso de la superficie de Bolza, aunque proporcionar una prueba rigurosa sigue siendo un problema abierto. Siguiendo este patrón, uno puede conjeturar razonablemente que la superficie de Bring maximiza el primer valor propio positivo del Laplaciano (entre las superficies de su clase topológica).
Ver también
Referencias
- Traed, Erland Samuel; Sommelius, Sven Gustaf (1786), Meletemata quædam mathica circa transformem æquationem algebraicarum , Promotionschrift, Universidad de Lund
- Edge, WL (1978), "Bring's curve", Journal of the London Mathematical Society , 18 (3): 539–545, doi : 10.1112 / jlms / s2-18.3.539 , ISSN 0024-6107 , MR 0518240
- Klein, Felix (2003) [1884], Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado , Dover Phoenix Editions, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49528-6, MR 0080930
- Riera, G .; Rodríguez, R. (1992), "Las matrices de período de la curva de Bring", Pacific J. Math. , 154 (1): 179–200, doi : 10.2140 / pjm.1992.154.179 , MR 1154738
- Schmutz, P. (1993), "Superficies de Riemann con la geodésica más corta de longitud máxima", GAFA , 3 (6): 564–631, doi : 10.1007 / BF01896258
- Weber, Matthias (2005), "El pequeño dodecaedro estrellado de Kepler como superficie de Riemann" , Pacific J. Math. , 220 : 167–182, doi : 10.2140 / pjm.2005.220.167