En la teoría de la superficie de Riemann y la geometría hiperbólica , una superficie de Hurwitz , llamada así por Adolf Hurwitz , es una superficie de Riemann compacta con exactamente 84 ( g - 1) automorfismos, donde g es el género de la superficie. Este número es máximo en virtud del teorema de Hurwitz sobre automorfismos ( Hurwitz 1893 ). También se conocen como curvas de Hurwitz , interpretándolas como curvas algebraicas complejas (dimensión compleja 1 = dimensión real 2).
El grupo fucsiano de una superficie de Hurwitz es un subgrupo normal libre de torsión de índice finito del grupo triangular (ordinario) (2,3,7) . El grupo del cociente finito es precisamente el grupo del automorfismo.
Los automorfismos de curvas algebraicas complejas son automorfismos que preservan la orientación de la superficie real subyacente; si se permiten isometrías de inversión de orientación , se obtiene un grupo dos veces mayor, del orden de 168 ( g - 1), lo que a veces es de interés.
Una nota sobre terminología: en este y otros contextos, el "grupo de triángulos (2,3,7)" se refiere con mayor frecuencia, no al grupo de triángulos completo Δ (2,3,7) (el grupo de Coxeter con el triángulo de Schwarz (2 , 3,7) o una realización como un grupo de reflexión hiperbólico ), sino más bien al grupo de triángulos ordinarios (el grupo de von Dyck ) D (2,3,7) de mapas que preservan la orientación (el grupo de rotación), que es índice 2. El grupo de automorfismos complejos es un cociente del grupo de triángulos ordinario (que conserva la orientación), mientras que el grupo de isometrías (posiblemente con inversión de orientación) es un cociente del grupo de triángulos completo .
Clasificación por género
En cada género sólo se producen un número finito de superficies de Hurwitz. La funciónmapear el género con el número de superficies de Hurwitz con ese género es ilimitado, aunque la mayoría de sus valores son cero. La suma
converge para , lo que implica en un sentido aproximado que el género de la La superficie de Hurwitz crece al menos como una función cúbica de ( Kucharczyk, 2014 ).
La superficie de Hurwitz de menor género es el cuartico de Klein del género 3, con el grupo de automorfismo el grupo lineal especial proyectivo PSL (2,7) , de orden 84 (3 - 1) = 168 = 2 3 · 3 · 7, que es un grupo simple ; (u ordene 336 si se permite isometrías de inversión de orientación). El siguiente género posible es el 7, poseído por la superficie Macbeath , con el grupo de automorfismo PSL (2,8), que es el grupo simple de orden 84 (7 - 1) = 504 = 2 3 · 3 2 · 7; si se incluyen isometrías de inversión de orientación, el grupo es del orden de 1.008.
Un fenómeno interesante ocurre en el siguiente género posible, a saber 14. Aquí hay un triple de superficies de Riemann distintas con el grupo de automorfismo idéntico (de orden 84 (14 - 1) = 1092 = 2 2 · 3 · 7 · 13). La explicación de este fenómeno es aritmética. Es decir, en el anillo de números enteros del campo numérico apropiado , el primo racional 13 se divide como producto de tres ideales primos distintos . Los principales subgrupos de congruencia definidos por el triplete de primos producen grupos fucsianos correspondientes al primer triplete de Hurwitz .
Comienza la secuencia de valores permitidos para el género de una superficie de Hurwitz.
Ver también
Referencias
- Elkies, N .: Cálculos de la curva de Shimura. Teoría algorítmica de números (Portland, OR, 1998), 1-47, Lecture Notes in Computer Science, 1423, Springer, Berlín, 1998. Ver arXiv : math.NT / 0005160
- Hurwitz, A. (1893). "Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich". Mathematische Annalen . 41 (3): 403–442. doi : 10.1007 / BF01443420 . S2CID 122202414 .
- Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U .: Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia. J. Geom diferencial. 76 (2007), núm. 3, 399-422. Disponible en arXiv : math.DG / 0505007
- Kucharczyk, Robert A. (2014). La acción de Galois en las curvas de Hurwitz . arXiv : 1401.6471 .
- Cantante, David; Syddall, Robert I. (2003). "La superficie de Riemann de un Dessin uniforme" . Beiträge zur Algebra und Geometrie . 44 ( 2 ): 413–430, PDFCS1 maint: posdata ( enlace )