En geometría , un icoságono o 20 gones es un polígono de veinte lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier icoságono es 3240 grados.
Icoságono regular | |
---|---|
Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 20 |
Símbolo de Schläfli | {20}, t {10}, tt {5} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diédrico (D 20 ), orden 2 × 20 |
Ángulo interno ( grados ) | 162 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Icoságono regular
El icoságono regular tiene el símbolo de Schläfli {20} , y también se puede construir como un decágono truncado , t {10} , o un pentágono truncado dos veces , tt {5} .
Un ángulo interior en un icoságono regular es 162 °, lo que significa que un ángulo exterior sería 18 °.
El área de un icoságono regular con una longitud de borde t es
En términos del radio R de su circunferencia , el área es
ya que el área del círculo es el icoságono regular ocupa aproximadamente el 98,36% de su circunferencia.
Usos
La gran rueda del popular programa de juegos estadounidense The Price Is Right tiene una sección transversal icosagonal.
Se descubrió que The Globe, el teatro al aire libre utilizado por la compañía de actores de William Shakespeare, se había construido sobre una base icosagonal cuando se realizó una excavación parcial en 1989. [1]
Como trayectoria goligonal , la esvástica se considera un icoságono irregular. [2]
Un cuadrado, un pentágono y un icoságono regulares pueden llenar completamente un vértice plano .
Construcción
Como 20 = 2 2 × 5 , el icoságono regular se puede construir usando un compás y una regla , o mediante una bisección de borde de un decágono regular , o un pentágono regular bisecado dos veces :
Construcción de un icoságono regular | Construcción de un decágono regular |
La proporción áurea en un icoságono.
- En la construcción con longitud de lado dada, el arco circular alrededor de C con radio CD , comparte el segmento E 20 F en proporción a la proporción áurea.
Simetría
El icoságono regular tiene simetría Dih 20 , orden 40. Hay 5 simetrías diédricas de subgrupos: (Dih 10 , Dih 5 ) y (Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 ) , y 6 simetrías de grupos cíclicos : (Z 20 , Z 10 , Z 5 ) y ( Z 4 , Z 2 , Z 1 ) .
Estas 10 simetrías se pueden ver en 16 simetrías distintas en el icoságono, un número mayor porque las líneas de reflejos pueden atravesar vértices o bordes. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. [3] La simetría completa de la forma regular es r40 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g20 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Los icoságonos irregulares de mayor simetría son d20 , un icoságono isogonal construido por diez espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y p20 , un icoságono isotoxal , construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del icoságono regular.
Disección
regular | Isotoxal |
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el icoságono, m = 10 , y se puede dividir en 45: 5 cuadrados y 4 conjuntos de 10 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 10 , con 45 de 11520 caras. La lista OEIS : A006245 enumera el número de soluciones como 18.410.581.880, incluidas rotaciones de hasta 20 veces y formas quirales en reflexión.
10 cubos |
Polígonos relacionados
Un icosagrama es un polígono estelar de 20 lados , representado por el símbolo {20 / n} . Hay tres formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {20/3} , {20/7} y {20/9} . También hay cinco figuras de estrellas regulares (compuestos) que utilizan la misma disposición de vértices : 2 {10} , 4 {5} , 5 {4} , 2 {10/3} , 4 {5/2} y 10 {2} .
norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
Formulario | Polígono convexo | Compuesto | Polígono estrella | Compuesto | |
Imagen | {20/1} = {20} | {20/2} = 2 {10} | {20/3} | {20/4} = 4 {5} | {20/5} = 5 {4} |
Angulo interior | 162 ° | 144 ° | 126 ° | 108 ° | 90 ° |
norte | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Formulario | Compuesto | Polígono estrella | Compuesto | Polígono estrella | Compuesto |
Imagen | {20/6} = 2 {10/3} | {20/7} | {20/8} = 4 {5/2} | {20/9} | {20/10} = 10 {2} |
Angulo interior | 72 ° | 54 ° | 36 ° | 18 ° | 0 ° |
Los truncamientos más profundos del decágono regular y el decagrama pueden producir formas de icosagramas intermedias isogonales ( transitivas de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de borde. [5]
Un icosagrama regular, {20/9} , puede verse como un decágono casi truncado, t {10/9} = {20/9} . De manera similar, un decagramo , {10/3} tiene una cuasitruncación t {10/7} = {20/7} , y finalmente un simple truncamiento de un decagramo da t {10/3} = {20/3} .
Cuasirregular | Cuasirregular | ||||
---|---|---|---|---|---|
t {10} = {20} | t {10/9} = {20/9} | ||||
t {10/3} = {20/3} | t {10/7} = {20/7} |
Polígonos de Petrie
El icoságono regular es el polígono de Petrie para varios politopos de dimensiones superiores, que se muestran en proyecciones ortogonales en planos de Coxeter :
A 19 | B 10 | D 11 | E 8 | H 4 | ½2H 2 | 2H 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
19-simplex | 10-ortoplex | 10 cubos | 11-demicubo | (4 21 ) | 600 celdas | Gran antiprisma | 10-10 duopirámide | 10-10 duoprisma |
También es el polígono de Petrie para el icosaédrico de 120 celdas , el pequeño y estrellado de 120 celdas , el gran icosaédrico de 120 celdas y el gran grandioso de 120 celdas .
Referencias
- ^ Muriel Pritchett, Universidad de Georgia "To Span the Globe" Archivado el 10 de junio de 2010 en Wayback Machine , véase también Nota del editor, recuperado el 10 de enero de 2016
- ^ Weisstein, Eric W. "Icosagon" . MathWorld .
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
enlaces externos
- Nombrar polígonos y poliedros
- icosagon