En la teoría de la superficie de Riemann y la geometría hiperbólica , la superficie de Macbeath , también llamada curva de Macbeath o curva de Fricke-Macbeath , es la superficie de Hurwitz del género 7 .
El grupo de automorfismo de la superficie de Macbeath es el grupo simple PSL (2,8) , que consta de 504 simetrías. [1]
Construcción de grupos de triángulos
El grupo fucsiano de la superficie se puede construir como el subgrupo de congruencia principal del grupo triangular (2,3,7) en una torre adecuada de subgrupos de congruencia principal. Aquí, las opciones de álgebra de cuaterniones y orden de cuaterniones de Hurwitz se describen en la página del grupo de triángulos. Escogiendo el idealen el anillo de números enteros, el subgrupo de congruencia principal correspondiente define esta superficie del género 7. Su sístole es aproximadamente 5.796, y el número de bucles sistólicos es 126 según los cálculos de R. Vogeler.
Nota histórica
Esta superficie fue descubierta originalmente por Robert Fricke ( 1899 ), pero lleva el nombre de Alexander Murray Macbeath debido a su posterior redescubrimiento independiente de la misma curva. [2] Elkies escribe que la equivalencia entre las curvas estudiadas por Fricke y Macbeath "pudo haber sido observada por primera vez por Serre en una carta del 24.vii.1990 a Abhyankar ". [3]
Ver también
Notas
Referencias
- Berry, Kevin; Tretkoff, Marvin (1992), "La matriz de período de la curva de Macbeath del género siete", Curvas, jacobianos y variedades abelianas, Amherst, MA, 1990 , Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 31-40, doi : 10.1090 / conm / 136/1188192 , MR 1188192.
- Bujalance, Emilio; Costa, Antonio F. (1994), "Estudio de las simetrías de la superficie Macbeath", Contribuciones matemáticas , Madrid: Editorial Complutense, pp. 375–385, MR 1303808.
- Elkies, ND (1998), "Cálculos de curvas Shimura", en Buhler, Joe P. (ed.), Teoría algorítmica de números: Tercer Simposio Internacional, ANTS-III , Lecture Notes in Computer Science, 1423 , Springer-Verlag, Lecture Notes en Computer Science 1423, págs. 1-47, arXiv : math.NT / 0005160 , doi : 10.1007 / BFb0054849 , ISBN 3-540-64657-4.
- Fricke, R. (1899), "Ueber eine einfache Gruppe von 504 Operationen" (PDF) , Mathematische Annalen , 52 (2–3): 321–339, doi : 10.1007 / BF01476163.
- Gofmann, R. (1989), "Puntos de Weierstrass en la curva de Macbeath", Vestnik Moskov. Univ. Ser. Estoy en. Mekh. , 104 (5): 31–33, MR 1029778. Traducción en Moscú Univ. Matemáticas. Toro. 44 (1989), núm. 5, 37–40.
- Macbeath, A. (1965), "On a curve of genus 7", Proceedings of the London Mathematical Society , 15 : 527–542, doi : 10.1112 / plms / s3-15.1.527.
- Vogeler, R. (2003), "Sobre la geometría de las superficies de Hurwitz", tesis de la Universidad Estatal de Florida.
- Wohlfahrt, K. (1985), "La curva de Macbeath y el grupo modular", Glasgow Math. J. , 27 : 239–247, doi : 10.1017 / S0017089500006212 , MR 0819842. Corrección de errores, vol. 28, no. 2, 1986, pág. 241, señor0848433 .