Primer triplete de Hurwitz

En la teoría matemática de las superficies de Riemann , el primer triplete de Hurwitz es un triple de superficies distintas de Hurwitz con el grupo de automorfismo idéntico del género más bajo posible, a saber 14 (los géneros 3 y 7 admiten cada uno una superficie de Hurwitz única, respectivamente el cuartico de Klein y el Superficie Macbeath ). La explicación de este fenómeno es aritmética. Es decir, en el anillo de números enteros del campo numérico apropiado, el primo racional 13 se divide como producto de tres ideales primos distintos. Los principales subgrupos de congruencia definidos por el triplete de primos producen grupos fucsianos correspondientes al triplete de superficies de Riemann.

Construcción aritmética

Sea el subcampo real de donde es una raíz de unidad de la séptima primitiva . El anillo de números enteros de K es , donde . Sea el álgebra de cuaterniones o álgebra de símbolos . También Let y . Deja . Entonces es un orden máximo de (ver orden de cuaterniones de Hurwitz ), descrito explícitamente por Noam Elkies [1].${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\rho ]}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$${\displaystyle \eta =2\cos({\tfrac {2\pi }{7}})}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (\eta ,\eta )_{K}}$${\displaystyle \tau =1+\eta +\eta ^{2}}$${\displaystyle j'={\tfrac {1}{2}}(1+\eta i+\tau j)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }=\mathbb {Z} [\eta ][i,j,j']}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle D}$

Para construir el primer triplete de Hurwitz, considere la descomposición prima de 13 pulg, a saber ${\displaystyle \mathbb {Z} [\eta ]}$

${\displaystyle 13=\eta (\eta +2)(2\eta -1)(3-2\eta )(\eta +3),}$

donde es invertible. Considere también los ideales primarios generados por los factores no invertibles. El subgrupo de congruencia principal definido por tal ideal primo I es por definición el grupo${\displaystyle \eta (\eta +2)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}(I)=\{x\in {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }^{1}:x\equiv 1{\pmod {I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}}\},}$

a saber, el grupo de elementos de norma reducida 1 en equivalente a 1 módulo el ideal . El grupo fucsiano correspondiente se obtiene como la imagen del subgrupo de congruencia principal bajo una representación de P SL (2, R) .${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {H} ur}}$

Cada una de las tres superficies de Riemann en el primer triplete de Hurwitz se puede formar como un modelo fucsiano , el cociente del plano hiperbólico por uno de estos tres grupos fucsianos.

Límite para la longitud sistólica y la relación sistólica

El teorema de Gauss-Bonnet establece que

${\displaystyle \chi (\Sigma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }K(u)\,dA,}$

donde es la característica de Euler de la superficie y es la curvatura gaussiana . En el caso que tenemos${\displaystyle \chi (\Sigma )}$${\displaystyle K(u)}$${\displaystyle g=14}$

${\displaystyle \chi (\Sigma )=-26}$ y ${\displaystyle K(u)=-1,}$

así obtenemos que el área de estas superficies es

${\displaystyle 52\pi }$.

El límite inferior de la sístole como se especifica en [2], a saber

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\log(g(\Sigma )),}$

es 3,5187.

En las siguientes tablas se presentan algunos detalles específicos sobre cada una de las superficies (el número de asas sistólicas se toma de [3]). El término Traza sistólica se refiere a la traza menos reducida de un elemento en el subgrupo correspondiente . La relación sistólica es la relación entre el cuadrado de la sístole y el área.${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{Hur}^{1}(I)}$

Ideal	${\displaystyle 3-2\eta \vartriangleleft O_{K}}$
Sístole	5.9039
Traza sistólica	${\displaystyle -4\eta ^{2}-8\eta -3}$
Razón sistólica	0.2133
Número de bucles sistólicos	91

Ideal	${\displaystyle \eta +3\vartriangleleft O_{K}}$
Sístole	6.3933
Traza sistólica	${\displaystyle 5\eta ^{2}+11\eta +3}$
Razón sistólica	0.2502
Número de bucles sistólicos	78

Ideal	${\displaystyle 2\eta -1\vartriangleleft O_{K}}$
Sístole	6.8879
Traza sistólica	${\displaystyle -7\eta ^{2}-14\eta -3}$
Razón sistólica	0.2904
Número de bucles sistólicos	364

Ver también

• (2,3,7) grupo triangular

Referencias

• Elkies, N. (1999). El cuartico de Klein en la teoría de números. El óctuple camino . Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ. 35 . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 51–101.
• Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U. (2007). "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia". J. Geom diferencial . 76 : 399–422. arXiv : math.DG / 0505007 .
• Vogeler, R. (2003). "Sobre la geometría de las superficies de Hurwitz". Tesis. Universidad Estatal de Florida.